Mathematica数学实验报告 实验三.docVIP

数 学 实 验 报 告 实 验 三 学院：数学与统计学院 班级：信息与计算科学(1)班 姓名： 郝玉霞 学号：201171020107 实验三 一、实验名：最佳分数近似值 二、实验目的：研究怎样用分数近似值去给定的无理数作最佳逼近。“最佳”就是既要误差小，又要分母小。我们首先需要对“最佳”定出具体而明确的标准，还要寻找一个求最佳分数近似值的简单易行的算法。 三、实验环境：学校机房，Mathematica软件。 四、实验的基本理论和方法：1、根据高中数学及大学数学中所学内容，经过分析研究，得出基本结论，利用Mathematica来进行验证，并寻找一个求最佳分数近似值的简单易行的算法。 2、计算圆周率“连分数展开”方法，并且利用特定的函数来展开其他数。 3、Mathematica中常用的展开数与多项式的函数的使用； 五、实验的内容和步骤实验步骤： 1、计算对数值 对给定的正实数b，N且b1，要求对数值a=,也就是求实数a使=N，如果能找到整数p，q使,则，，以lg2为例：由可得lg2=0.3，再要提高精确度，就要找出更大的q使更接近10的某个幂，也就是使更接近于1。 练习题1： 让q依次取遍1到10000的所有的正整数，对每一个q，按如下的递推法则求出一个正整数p=p(q)使实数最接近于1： q=1时，p(1)=0,(1)==2. 设已对q求出p(q)和(q)，计算2(q)，如果2(q),则取p(q+1)=p(q), (q+1)=2(q),如果2（q），则取p(q+1)=p(q)+1，(q+1)=. 如果(q)比以前所有的(i)()都更接近1，即|(q)-1||(i)-1|对所有的1iq-1成立，就取都是最佳逼近lg2的的分数近似值，它们可以展开成小数近似值。 分数对无理数的最佳逼近 设是给定的无理数。怎样的分数能够称为的最佳分数近似值？既然“最佳”的标准是既要误差小，又要分母小，如果有一个分数的分母qQ并且误差|-||-|,那么就是比更佳的分数近似值，就不能说是“最佳”。反过来，如果的误差比起分母不超过Q的其他分数近似值都小，也就是|-||-|对所有qQ以及q=Q且pP成立，就称给出了的最佳逼近。 比如，对π=3··，分母为1最接近π的分数近似值为，是π最佳分数逼近。分母为2最接近π的分数近似值是，它的分母比1大，但误差不比小，是比更差的分数近似值，不是最佳。 我们也可以将误差小、分母小这两个标准综合起来，以误差Δ=|-|与分母q的乘积qΔ为标准来判定分数近似值的优劣，qΔ越小，越优，还可以进一步强化“分母小”这一要求，用Δ作衡量标准，Δ值越小越优化。 练习题2：取n =10000，让分母q依次取遍1到n的整数值，对每一个分母q，将qπ四舍五入得到一个整数p作为分子，从而得到分母为q的最接近π的分数近似值p/q. （1）让这n个分数中按下面规则依次参加“擂台赛”，选出对π做最佳逼近的分数： 语句： 结果： （2）题目见课本33页 语句： 结果： （3）题目见课本33页 语句： 结果： 3、二元一次不定方程的整数解 问题：设a, b, c是整数，求二元一次方程ax +by=c的整数解。 不妨设a, b都不为0，否则方程很容易解，必要时交换未知数x, y，可化为|a|=|b|的情形，并可使a0. 利用辗转相除法可得到余数数列a , |b| , ,……和商数列使除以的商为，余数为.(约定)由于逐步减小的正整数，必然有某个，余数数列和商数列终止。最后一个非零的就是a , b的最大公约数d=(a, b ).而分数被展开成有限连分数 . 去掉这个连分数的最后一项，再将所得的连分数化成普通的既约分数，则是的渐进分数近似值： . 误差 。 于是如果c不被d整除，则原方程无整数解.否则，t=c/d是整数，设b=p |b|,(p=1).则 是方程的一组整数解.方程的通解为，其中取遍所有整数. 六、实验结果和结果分析： 虽然在实验过程中存在语句错写问题，但经过分析、改正均达到实验预期结果；并在最后给出了用公式法计算π的值，但有待于实验验证。 七、实验总结： 通过本次实验，掌握了用分数近似值去给定的无理数作最佳逼近。进一步熟悉了对MathematIca软件的应用。 实验效果良好。