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讲 授 内 容 备 注 第七讲 例3 证明 ：在区间上一致连续的充要条件是：对上任意二数列，，只要，就有 ． 证　必要性　设在上一致连续 ，当，且 时，有 ． 因为　， 所以对上述，，当时，有， 则有　　　　　　． 所以　　　　　． 　　充分性　（反证法）若在上非一致连续，则 　　， ，虽然 ，但 ． 这里　 ，但　 矛盾．所设错误．在区间上一致连续． 定义　若数列满足Cauchy条件： ，，当时，有 则称数列为Cauchy数列，又称基本列数列、自收敛数列． 例4 设为有限区间，在上有定义．试证：在 上一致连续的充要条件是：把Cauchy数列映射为Cauchy数列．（即当为Cauchy数列时，为Cauchy数列） 　　证　必要性　设在上一致连续，则 　　，当， 时，有 ． 设为Cauchy数列，对上述，，当时， 有　，于是有　　　　　　 ． 即为Cauchy数列． 　　充分性　（反证法）设设在上非一致连续，则 　　， ，虽然 ，但 ． 注意到为有限区间，，则有界．必存在收敛的子数列．因为 ，所以中相应的子数列 也收敛到相同的极限．所以数列 亦收敛，为Cauchy数列．但其像数列 恒有　　　　　　　　　． 不是Cauchy数列，与已知条件矛盾．所以在上一致连续． 　注　的有限性，只在充分性用到．对于无穷区间，必要性仍成立． 例5 用一致连续定义证明：若函数在上都一致连续，则函数在上一致连续． 证　已知函数在上一致连续，则 　　，当， 时，有 ． 　　　　　，当， 时，有 ． 　　取，当时 (1) 若或，当时，有 . (2) 若，，当时，亦有 ， ． 于是，对，，当时，有 ． 即在上一致连续． 　　二、用连续模数描述一致连续性 　　定义　若函数在区间上有定义，则 称为函数在区间上的连续模数．可见 　　1o　； 　　2o　是关于的不减函数． 例6 若函数在区间上有定义，则在上一致连续的充要条件是：． 　　证 必要性　设在上一致连续，则 　　，当， 时，有 ． 从而　　　　． 故当时，． 即　． 充分性 由知，，当时， ． 故当， 时，有 即在上一致连续． 　注　由此可得一致连续的观察法．因为的值只与的图像最陡的地方有关．若的图像在某处无限变陡，使得 ，则非一致连续．若的图像在某处虽陡，但 时，此处的变差，则一致连续． 　　如　，，在处，图像无限变陡， ．所以在任何区间上都是非一致连续的．但在区间上，在点处最陡，且 ．所以在上一致连续． 　　三、一致连续与连续的关系 函数在区间上一致连续，则函数在该区间上连续． 反之，不一定成立．若为有限闭区间，据一致连续性定理， 在上连续等价于在上一致连续．所以只需讨论开区间以及无穷区间上情况． 例7　设在有限开区间连续．试证：在内一致连续的充要条件是：极限及存在（有限值）． 证　必要性　已知，当， 时，有 ． 　故，当时 （必有），有　　． 据函数极限存在的Cauchy准则，知存在（有限值）． 同理可证，存在（有限值）． 充分性 因为及存在，补充 ， 则在内连续，在端点处单侧连续，所以在上连续．由一致连续性定理，在上一致连续，从而在内一致连续． 　注　(1) 此例表明，在有限开区间内连续函数是否一致连续，取决于函数在端点附近的状态．应用本例容易判明 　　在内一致连续． （在内非一致连续，在内一致连续，而乘积在内一致连续）． 　，，在内非一致连续． 　　(2)　由此例还表明，在内一致连续，则在 内有界．然而，在开区间内连续、有界的函数，不一定一致连续．如　． 　　(3)　当改为无穷区间时，该例的必要性不再成立． 　　如 ，在上一致连续．但在端点 无极限．对于无穷区间，充分性仍是成立的．如下例 例8　证明：若在上连续，（有限值）．则在上一致连续． 证　1o 因为，由Cauchy准则 ，当时，有 . 2o 由一致连续性定理在上一致连续． 对上述，当，时，有 ． 3o 令，当，时， 要么同属于，要么同属于 由1o、2o　知，有 ． 即，在上一致连续． 注 (1) 由极限存在的几何意义，说明当时，的图像趋于水平状态，其连续模数必趋于0．从而一致连续． (2) 如下证明是错误的：首先利用以上证明的1o，的结论 “在上一致连续”，然后利用一致连续性定理，在上一致连续．从而在上一致连续． 其错误在于1o的与有关，由1o得不出在上一致连续． 例9 设在上一致连续，在上连续， ． 证明：在上一致连续． 证 1o 因为，所以 ，当时，有 ． 又因为在上一致连续，所以 对，当，时，有 ． 所以，且时，有 　 　　　　　　． 　　2o 利用一致连续性定理，知在上一致连续 对，当，时，有 ． 3o　取，当且时， 总有　　． 　　例10 证明：若函数在上是连续的周期函数，则在上一