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数学分析(西北师范大学)8.doc
S F 01(数)
Ch 8 实数基本定理
计划课时: 18 时
P 71—84
2002.02.08.
Ch 8 实数基本定理 ( 1 8 时)
§ 0 连续统假设简介 ( 2 时 )
数的发展简史:参阅《数学分析》选讲讲稿P66—76(1997. 8.10 ).
自然数的产生: 十九世纪数学家 Leopold Kronecker说: 上帝创造了整数,
其余则是我们人类的事了.
从自然数系到有理数系:
算术连续统假设的建立及其破灭:
不可公度性的发现及其深远影响.
Pythagoras (约在纪元前六世纪), Hippasus, Leonardo da Vinci 称为
“无理的数”. Eudoxus , Euclid.
微积分的建立:
Newton , Leibniz ; Euler , Lagrange , D′Alembert , Laplace ;
Voltaire , B. Berkeley .
十九世纪分析学理论的重建工作: B.Bolzano , A.Cauchy , Abel , Dirichlet,
Weierstrass .
Archimedes数域.
实数系的建立:
十九世纪后半叶由Weierstrass , Meray , Dedekind , Cantor 等完成.
连续统假设:
连续统假设: 以Cantor实数为例做简介.
Cauchy ( 1789—1857, 法 ), Bolzano (1781—1845 ), Cantor ( 1829—1920 ).
在他们的著作中表现了实数连续性的观点. 1900年, 哥庭根大学教授Hilbert
( 1862—1943, 德 )在巴黎国际数学家代表大会上的致辞中 , 提出了二十三个研究课题 ,
其中的第一题就是所谓连续统假设. 首当其冲的是关于连续统观点的算术陈述.
( 参阅 D.J.斯特洛伊克著《数学简史》P160—161 ).
连续统假设的研究现况.
实数基本定理:
连续统假设的等价命题. 共有九个定理, 我们介绍其中的七个. 另外还有
上、下极限定理和实数完备性定理.
§ 1 实数基本定理的陈述 ( 4 时 )
确界存在定理:回顾确界概念.
Th 1 非空有上界数集必有上确界 ;非空有下界数集必有下确界 .
单调有界原理: 回顾单调和有界概念 .
Th 2 单调有界数列必收敛 .
Cantor闭区间套定理 :
区间套: 设是一闭区间序列. 若满足条件
ⅰ 对, 有 , 即 , 亦即
后一个闭区间包含在前一个闭区间中 ;
ⅱ . 即当时区间长度趋于零.
则称该闭区间序列为一个递缩闭区间套, 简称为区间套 .
简而言之, 所谓区间套是指一个 “闭、缩、套” 区间列.
区间套还可表达为:
.
我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列和 , 其中递增,
递减.
例如 和都是区间套. 但、
和 都不是.
Cantor区间套定理:
Th 3 设是一闭区间套. 则存在唯一的点,使对有.
简言之, 区间套必有唯一公共点.
四. Cauchy收敛准则 —— 数列收敛的充要条件 :
基本列 : 回顾基本列概念 . 基本列的直观意义 . 基本列亦称为Cauchy列.
验证以下两数列为Cauchy列 :
⑴ .
⑵ .
解 ⑴
;
对,为使 ,易见只要 .
于是取 .
⑵
.
当为偶数时 , 注意到上式绝对值符号内有偶数项和下式每个括号均为正号 , 有
,
又
.
当为奇数时 ,
,
.
综上 , 对任何自然数, 有
. ……
Cauchy列的否定:
. 验证数列不是Cauchy列.
证 对, 取,
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