数学分析专题选讲教案(1.1).docVIP

楚雄师范学院数学系课程教案--数学分析专题选讲教案1-1--教案1 (数学分析专题选讲,周学时三节,单四双二) 周 次 第1周 (2009.2.23-2009.3.1) 课 题 第一专题 极限理论中的若干基本方法 §1.1 用数列极限定义证明问题的基本方法 §1.2 Stolz定理的应用 学 时 2学时 教学内容（主要） 1.用数列极限定义证明问题的基本方法 2.Stolz定理的应用 教 学 目 标 1.熟练掌握用数列极限定义证明问题的基本方法 2.熟练掌握Stolz定理的应用 教学重点 1.用数列极限定义证明问题的基本方法 2.Stolz定理的应用 教学难点 1.用数列极限定义证明问题的技能技巧 2.Stolz定理的应用的技能技巧 教学方法与手段 1.分析教学方法、对比教学方法、探索式的教学方法、讨论教学方法、综合教学方法 2.借助多媒体辅助教学 教 学 进 程 (教学设计) 第一专题 极限理论中的若干基本方法 §1.1 用数列极限定义证明问题的基本方法 用定义证明数列极限的基本程序 基本程序 证明的开始:. 证明的关键:找. 何处找?:在中找. 如何找? 找的基本方法 (1).直接解关于的不等式,得,取即可. 适当放大 (2).将解关于的不等式,得,取即可. (3).取已知极限中的最大者即可. 例1.用数列极限定义证明:. 证明:(Ⅰ).. (Ⅱ).. (Ⅲ).直接解,得. (Ⅳ).于是存在,当时,就有. 故. 例2.用数列极限定义证明:. 证明:(Ⅰ).. (Ⅱ).. 适当放大 (Ⅲ)..解,得. (Ⅳ).于是存在,当时,就有. 故. 例3.用数列极限定义证明:. 证明:(Ⅰ).. (Ⅱ).. 适当放大 (Ⅲ)..解,得. (Ⅳ).于是存在,当时,就有. 故. 例4.用数列极限定义证明:. 证明:(Ⅰ).. (Ⅱ).. (Ⅲ).. 适当放大 = . 解,得. (Ⅳ).于是存在,当时,就有. 故. 例5.设,用定义证明: . 证明:(Ⅰ).. (Ⅱ).因,故存在,当时,. (Ⅲ). 又,故存在,当时, . (Ⅳ).于是存在,当时,就有. 故 §1.2 Stolz定理的应用 定理1(型Stolz).设实数列和满足: (1).; (2).; (3)., 则. 推论1.设,则 . 证明:由定理1有, = 推论2.设,且,则 . 证明:令,则,于是由推论1, =,故. 定理2(型Stolz).设实数列和满足: (1).; (2).; (3)., 则. 定理3(型Stolz).设常数,若 (1). (2).,且在内闭有界; (3)., 则 . 定理4(型Stolz). 设常数,若 (1). (2).,; (3)., 则. 例1.求下列极限 (1).; (2).. 解:(1). . (2). . 例2.求. 解: . 例3.设,证明: (1).单增;(2).;(3).. 证明:(1).由数学归纳法,,故单增. (2).若,则,.矛盾,故. (3).. 例4.求. 解: (第一次用Stolz法则) (第二次用Stolz法则) . 例5.求 . 解:令 , 则 故. 课后教学总结 课 外 作 业 习题1.1 :2,3. 习题1.2 :2,3. 实 践 与 思 考 单元测试与分析 1