数学分析专题选讲教案(2.1).docVIP

楚雄师范学院数学系课程教案--数学分析专题选讲教案2-1--教案5 (数学分析专题选讲,周学时三节,单四双二) 周 次 第3周 (2009.3.9-2009.3.15) 课 题 第二专题 函数连续性中的若干基本方法 §2.1 函数连续性 §2.2闭区间上连续函数性质的应用 学 时 2学时 教学内容（主要） 一.函数连续性讨论 二.连续函数概念的应用 一.零点存在定理的应用 教 学 目 标 1.深刻理解函数连续性的概念 2.熟练掌握讨论函数连续性的基本方法 3.深刻理解和掌握闭区间上连续函数的性质 4.熟练应用闭区间上连续函数性质证明和解决问题的技能技巧 教学重点 1.讨论函数连续性的基本方法 2.应用闭区间上连续函数性质证明和解决问题的技能技巧 教学难点 1.讨论函数连续性的基本方法 2.应用闭区间上连续函数性质证明和解决问题的技能技巧 教学方法与手段 1.分析教学方法、对比教学方法、探索式的教学方法、讨论教学方法、综合教学方法 2.借助多媒体辅助教学 教 学 进 程 (教学设计) 第二专题 函数连续性中的若干基本方法 §2.1 函数连续性 一.函数连续性讨论 定义.设在的某去心邻域内有定义. (1).若和都存在,但不相等,则称是的第一类间断点. (2).若和至少有一个不存在,则称是的第二类间断点. (3).若和都存在,且相等,即存在,但在无意义,或在有意义,但,则称是的可去间断点. 是的第一类间断点. 是的第二类间断点. 图 2.1.1 图 2.1.2 是的可去间断点. 图 2.1.3 例1.讨论函数的连续性,并指出不连续点的类 型. 解:(1). 图 2.1.4 (2).因为 , , , , . 故在连续,在 间断,且是的第一类间断点,是的第二类间断点. 例2.讨论函数的连续性,并指出不连续点的类型. 解:因为时,,故时连续. 又因为时,,且 ,（为奇数）; ，（为偶数）, 故是第一类间断点. 因此时连续,当时间断,且是第一类间断点. 例3.讨论函数的连续性,并指出不 连续点的类型. 解:在,或时,无意义,故间断. 令,则,故在内有. 令,则,故在内有, . 因为 , , , , , , , , 故在内,是第二类间断点,是可去间断 断点. 例4.讨论函数的连续性,并指出不连续点的类型. 解:因为 , 故时连续,而分别是可去间断与第二类间断点. 例5.讨论函数的连续性. 解:当时,. 设,则 , 于是,取,则当时,就有,故在连续. 任取,分别取有理点列和无理点列,使,则 , . 若在连续,则,于是,矛盾.故在不连续. 故在连续,而在不连续. 例6.设连续,求的值. 解:因为 故 ,,. 二.连续函数概念的应用 例1.设在满足,且在连续,证明:是 常数. 证明:,因为 , 故由在连续性,令,得. 例2.设在满足,且在连续,证明: 是常数. 证明:,因为 , 故由在连续性,令,得. 例3.设均有,且在点连续,证明: . 证明:(1).,故,故由在处连续性,得 .于是得 . 所以在连续,因此在连续. (2).,,,于是 , . 令,得,故. ,,得 , 于是,,有. ,则存在,使得,故由的连续性,得 . 故. 例4.设,且在处连续性,求. 解:因为 , , , ……………………………………….. , 故,于是由在