数学物理方程作业汇总.doc

第2次 数学物理方程习题答案 第七章 6、一根杆由截面相同的两段连接而，两段的材料不同，弹性模量分别是EⅠ和EⅡ，密度分别是ρ1、ρ2.试写出衔接条件。 解：两段杆的接点设为x=0。其波动方程分别为： 在连接处，由于该波的振幅是连续的 ，于是有： 在交接处的应力应该相等，这是由于相互作用力相等而得 由于 所以有： 第3次 第4次 1、求解无限长弦的自由振动。设弦的初始位移为，初始速度为。 解： 泛定方程： 初始条件： 对于一维无界的弦振动，其解可用达朗贝尔公式： 其中： 对于积分项，有： 所以，其解为： 则只有右行波，是一行波，不是驻波。 8、半无限长的弦，初始位移和速度都是0，端点作微小振动。求解弦的振动。 解：将半无限长的弦拓展为无界空间的弦。则其泛定方程为： 初始条件为： 其中、为待定，（因为该两等于0时，方程只有0解） 边界条件： 该泛定方程的达朗贝尔解为： 将边界条件代入达朗贝尔解，得： 注意到：当时，有。 则有： 所以边界条件的方程变为： 为了方便求，不妨令，则有： 若取，则。 于是有：， 则： 于是方程的解为： 第5 次 《数学物理方程》第5次作业 参考答案 1、长为的弦，两端固定。弦中张力为T，在距一端为的一点以力F0把弦拉开，然后突然撤除这力，求解弦的振动。 解： 泛定方程为： 边界条件、初始条件为： 令 X的解形式为： 由初始条件（4），可知：。由边界条件可知，。 由边界条件（3），可得 利用分部积分，可求得： 所以，解为： 4、长为的均匀杆，两端受压从而长度缩为，放手后自由振动。求解杆的纵振动。 解： 泛定方程为： 边界条件是第二类边界条件： 对于初始条件，我们认为当压缩时，两端的压缩量是一样的，均为，中点处的压缩为0。这样，整个杆各截面的压缩量、初始速度可表示为： 采用分离变数法求解，设 X的解形式为： 于是方程的解可以写成： 由初始条件：可得： 即有： 于是方程的解为： 11、在矩形区域0xa，0yb上求解拉普拉斯方程Δu=0，使满足如下边界条件，其中A、B为常数。 解：先将方程的边界条件变为齐次的，作如下变换： 其边界条件分别如下所示： 这样，就可以分别对v、w进行分离变数求解。 对于w(x,y)的求解，方法同上，其解形式可设为： 由边界条件确定其待定常数。 16、A、B为常数，在圆形域内求解Δu=0，并分别满足边界条件： 解： 25、长为的均匀弦，两端固定，在点有一集中的横向力一直作用着，求解弦的恒定横振动。 解：这是一个无初始条件的定解问题，要利用其衔接条件求解。由于在有作用力存在，将弦的横向振动分为两部分讨论。分别记为，它们满足泛定方程： 利用分离变数法，将它们的解设为： 将边界条件代入上式，得： 可得： 解的表达式可写成： 其中：A1、A2、B1、B2为待定常数。 由衔接条件： 由上式可得，。对比系数，有： 对上述4式进行整形，利用三角函数公式： 得： 对于式（5）、（6），由于其行列式不等于0，则A2、B2皆为0。 对于式（7）、（8）,有： 所以，有： 第6次 数学物理方程第6次作业 1、在圆域上求 2、在圆域上求 七 数学物理方程第7次作业 1、试用平面极坐标把二维波动方程分离变数。 3、氢原子定态问题的量子力学薛定谔方程是： 试将其作分离。变数 八 数学物理方程 §8.2作业 第5题解法，参见书本P164。 九 数学物理方程第9次作业 §9-3 1、 十 数学物理方程第10次作业 §10.1 十一 数学物理方程 第11次作业 数学物理方程第1次作业参考答案 第 32 页 共 33 页