7微积分的创立.doc

第7章 微积分的创立 主题： 微积分创立的意义 知识理解： 本章介绍微积分从酝酿到完全确立起来的过程，重点介绍了在17世纪里有关微积分所产生的一系列的数学事件，包括各种微积分算法的特殊情况和牛顿和莱布尼茨建立微积分的情况。 一．背景：1解析几何：工具 2科学问题： （1）古代：求积、求切线和最值 （2）近代：瞬时变化率、切线问题、函数极值、几何求积 （3）酝酿：开普勒与旋转体体积；卡瓦列尼不可分量原理；笛卡儿“圆法”；费马求极大值与极小值的方法；巴罗“微分三角形”；沃利斯“无穷算术” 总之：针对基本问题，微积分的算法技巧成熟。需要的工作：将各种算法统一成一种同一的算法——微分与积分，同时确立二者的互逆关系从而统一起来。 二 微积分的创立 1 牛顿创立微积分的过程： （1）其人： 牛顿（1642－1727）： （2）过程： 出发点：1664 笛卡儿《圆法》，1665 发明“正流数术”（微分），1666 “反流数术”（积分），《流数简论》（1666年）是历史上第一篇系统的微积分文献。 （3）特点：微积分具有运动学背景 （4）意义：在这之前，面积总是被看成无限小量不可分量之和，牛顿这是从确定面积变化率入手通过反微分计算面积。面积计算与求切线问题的互逆关系，在以往场合也被人模糊提出过，但没有把它作为一种系统的理论总结出来，而只有牛顿以敏锐的眼光和能力将这种互逆关系明确作为一般规律揭示出来，并将其作为建立微积分普遍算法的基础。牛顿是自古希腊以来将求解无限小问题的各种特殊技巧统一为两类普遍的算法——正、反流数术即微分与积分，并证明了二者的互逆关系而将这两类运算进一步统一成整体。微积分算法应用于求曲线切线、曲率、拐点、曲线求长、求积、求引力与引力中心等16类问题，表现了此类算法的极大的普遍性和系统性。 （5）发展： 《运用无限多项方程的分析》（简称《分析学》）（1699）， 《流数法与无穷级数》（1671）， 《曲线求积术》（1691） 三篇论文反映了微积分学说的发展过程，并对于微积分的基础先后给出不同的解释。 （6）发表：《原理》 2 莱布尼茨创立微积分的过程 其人：莱布尼茨（1646－1716）： （1）起点：特征三角形 （2）建立： （3）分析微积分：形式化 （4）有关文献： （5）其他数学贡献： 三 比较 背景：运动背景几何化；几何背景形式化 方法：综合方法；分析方法 形式：和力学运动学结合在一起；与几何背景抽象出来 7微积分的创立 7.1 孕育（16－17）（1571－1630）1609年、1619年公布了通过观测归纳出的行星运动三大定律，如何从数学上推证这定律成为当时自然科学的中心课题之一。事实上，自文艺复兴以来在资本主义生产力刺激下蓬勃发展的自然科学开始迈入综合与突破的阶段，所面临的数学困难，关注的焦点：瞬时速度问题、切线问题，极值问题，长度、面积、体积、重心和引力计算问题。在17世纪上半叶，几乎所有的科学大师都致力于寻求解决这些难题的新的数学工具，特别是描述运动与变化的无限小算法。 （1）伽利略（，1564－1642）1638年《关于力学和位置运动的两种新科学的对话与数学证明》，建立了自由落体定律、动量定律等，为动力学奠定了基础，切线构造为运动合速度方向的直线； （2）开普勒（1571－1630）（，1598－1647）a^{2}/2的积分公式； （4）托里切利（，1608－1647）＝a{n+1}/(n+1)； （5）笛卡儿（1596－1650）（，1601－1665）（1629）（1636）（，1630－1677）y/Δx对于决定切线的重要性；此外，微积分基本定理是架设在切线问题和求积问题之间的桥梁，揭示了两者的互逆关系，巴罗在《几何讲义》的第10、11讲中用几何形式给出面积与切线的某种关系，已得到基本定理的要领。 （8）沃利斯（，1616－1703）、无穷小分析的算术化等内容，有计算(的著名的沃利斯公式，4/(=3/2(3/4(5/4(5/6(7/6((，引进了现在用的无穷大符号(，最先完整地说明零指数、负指数和分数指数意义的人，为牛顿创立微积分开辟了道路。 17世纪上半叶一系列前驱的工作，沿着不同的方向向微积分的大门逼近，这还不足以标志微积分作为一门独立科学的诞生，方法缺乏足够的一般性，没有一般规律性的提出，需要有人站在更高的高度将以往个别的贡献和分散的努力综合为统一的理论。历史安排牛顿和莱布尼茨在这样关键的时刻出场了。 在伽利略去世的那年，牛顿出生了。 7.2 牛顿（1642－1727）Nature and Natures laws lay hid in night; God said，let Newton be! and all was light. 牛顿是个遗腹子，17岁时被母亲从他就读的中学召回田庄务农，校