《导数及其应用》单元测试题(理科).doc

《导数及其应用》单元测试题（理科） （满分150分 时间：120分钟 ） 选择题（本大题共8小题，共40分，只有一个答案正确） 1．函数的导数是（ ） (A) (B) (C) (D) 2．函数的一个单调递增区间是（ ） (A) (B) (C) (D) 3．已知对任意实数，有，且时，，则时（ ） A． B． C． D． 4．（ ） (A) (B) (C) (D) 5．曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 6．设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ） 7．已知二次函数的导数为，，对于任意实数都有，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 8．设在内单调递增，，则是的（　　） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 二．填空题（本大题共6小题，共30分） 9．用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，则该长方体的长、宽、高各为 时，其体积最大. 10．将抛物线和直线围成的图形绕轴旋转一周得到的几何体 的体积等于 11．已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则＿＿． 12．对正整数n，设曲线在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是　 　 13．点P在曲线上移动，设在点P处的切线的倾斜角为为，则的取值范围是 14．已知函数(1)若函数在总是单调函数，则的取值范围是 . (2)若函数在上总是单调函数，则的取值范围 . （3）若函数在区间（-3，1）上单调递减，则实数的取值范围是 . 三．解答题（本大题共6小题，共12+12+14+14+14+14=80分） 15．设函数． （1）证明：的导数； （2）若对所有都有，求的取值范围． 16．设函数分别在处取得极小值、极大值.平面上点的坐标分别为、，该平面上动点满足,点是点关于直线的对称点，.求 (1)求点的坐标； (2)求动点的轨迹方程. 17．已知函数(x0)在x = 1处取得极值-3-c，其中a,b,c为常数。 （1）试确定a,b的值； （2）讨论函数f(x)的单调区间； （3）若对任意x0，不等式恒成立，求c的取值范围。 18．已知 （1）当时，求函数的单调区间。 （2）当时，讨论函数的单调增区间。 （3）是否存在负实数，使，函数有最小值－3？ 19．已知函数 （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围. 20．已知函数，，其中． （1）若是函数的极值点，求实数的值； （2）若对任意的（为自然对数的底数）都有≥成立，求实数的取值范围． 【理科测试解答】 一、选择题 1．; 或（理科要求：复合函数求导） 2．， 选(A) 或 3.(B)数形结合 4．（D） 5．（D） 6．（D） 7．（C） 8．（B） 二、填空题 9．2cm,1cm,1.5cm ; 设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为 . 故长方体的体积为 从而 令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1. 当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜时，V′（x）＜0， 故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。 从而最大体积V＝V′（x）＝9×12-6×13（m3），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m. 10．. （图略） 11．32 12．，令x=0，求出切线与y轴交点的纵坐标为，所以，则数列的前n项和 13. 14. (1) 三、解答题 15．解：（1）的导数． 由于，故． （当且仅当时，等号成立）． （2）令，则 ， （ⅰ）若，当时，， 故在上为增函数， 所以，时，，即． （ⅱ）若，方程的正根为， 此时，若，则，故在该区间为减函数． 所以，时，，即，与题设相矛盾． 综上，满足条件的的取值范围是． ，因此，从而． 又对求导得 ． 由题意，因此，解得． （2）由（I）知（），令，解得． 当时，，此时为减函数； 当时，，此时为增函数． 因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为． （3）由（II）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值，要使（）恒成立，只需． 即，从而， 解得或． 所以的取值范围为 17．解: (1)令解得 当时,