g是群.ppt

* * * * * * * * * * * * * * 3. 设Z18 为模18整数加群, 求所有元素的阶. 解： |0| = 1, |9| = 2， |6| = |12| = 3, |3| = |15| = 6, |2| = |4| = |8| = |10| = |14| = |16| = 9, |1| = |5| = |7| = |11| = |13| = |17| =18, 练习3 说明： 群中元素的阶可能存在，也可能不存在. 对于有限群，每个元素的阶都存在，而且是群的阶的因子. 对于无限群，单位元的阶存在，是1；而其它元素的阶可能存在，也可能不存在.（可能所有元素的阶都存在，但是群还是无限群）. 4．证明偶数阶群必含2阶元. 由 x2 = e ? |x| = 1 或2. 换句话说, 对于G中元素x，如果 |x| 2, 必有x?1? x. 由于 |x| = |x?1|，阶大于2的元素成对出现，共有偶数个. 那么剩下的 1 阶和 2 阶元总共应该是偶数个. 1 阶元只有 1 个，就是单位元，从而证明了G中必有 2 阶元. 练习4 有关群性质的证明方法 有关群的简单证明题的主要类型 证明群中的元素某些运算结果相等 证明群中的子集相等 证明与元素的阶相关的命题. 证明群的其它性质，如交换性等. 常用的证明手段或工具是 算律：结合律、消去律 和特殊元素相关的等式，如单位元、逆元等 幂运算规则 和元素的阶相关的性质. 特别地，a为1阶或2阶元的充分必要条件是a?1= a. 证明方法 证明群中元素相等的基本方法就是用结合律、消去律、单位元及逆元的惟一性、群的幂运算规则等对等式进行变形和化简. 证明子集相等的基本方法就是证明两个子集相互包含 证明与元素的阶相关的命题，如证明阶相等，阶整除等. 证明两个元素的阶r 和 s 相等或证明某个元素的阶等于r，基本方法是证明相互整除. 在证明中可以使用结合律、消去律、幂运算规则以及关于元素的阶的性质. 特别地，可能用到a为1阶或2阶元的充分必要条件是a?1 = a. 练习5 5．设G为群，a是G中的2 阶元，证明G中与a可交换的元素构成G的子群. 证 令H= { x | x?G ? xa = ax}, 下面证明H是G的子群. 首先e属于H，H是G的非空子集. 任取x, y ?H，有 (xy?1) a = x(y?1a ) = x(a?1y)?1 = x(ay)?1 = x(ya)?1 = xa?1y?1 = xay?1 = axy?1 = a(xy?1) 因此 xy?1属于H. 由判定定理命题得证. 分析： 证明子群可以用判定定理，特别是判定定理二. 证明的步骤是： 验证 H 非空 任取 x, y?H，证明xy?1?H 6. (1) 设G为模12加群, 求3 在G中所有的左陪集 (2) 设 X= {x | x?R, x ?0,1}, 在X上如下定义6个函数： f1(x) = x， f2(x) =1/x, f3(x) = 1?x, f4(x) = 1/(1?x), f5(x) = (x?1)/x, f6(x) = x/(x?1), 则G = {f1, f2, f3, f4, f5, f6}关于函数合成运算构成群. 求子群 H={f1, f2} 的所有的右陪集. 练习6 解 (1) 3 = {0, 3, 6, 9}, 3的不同左陪集有3个，即 0+3 = 3, 1+3 = 4+3 = 7+3 = 10+3 = {1, 4, 7, 10} , 2+3 = 5+3 = 8+3 = 11+3 = {2, 5, 8, 11}. (2) {f1, f2}有3个不同的陪集，它们是： H，Hf3 = {f3, f5}, Hf4 = {f4, f6}. 7．设 H1,H2分别是群G 的 r, s 阶子群，若(r,s) = 1，证明H1?H2 = {e}. 练习7 证 H1?H2≤H1，H1?H2 ≤H2. 由Lagrange定理，|H1?H2| 整除r，也整除s. 从而 |H1?H2| 整除 r与s 的最大公因子. 因为(r,s) = 1, 从而 |H1?H2 | = 1. 即 H1?H2 = {e}. 某些有用的数量结果：设a是群G元素，C为G的中心 N(a)={ x | x?G, xa=ax }， |C| 是 |N(a)| 和 |G| 的因子，|a| 是 |N(a)| 和 |G| 的