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虚数的故事 于卓立 5080209028 什么是虚数 卡尔达诺问题 虚数的诞生 复数与复平面 物理学中的虚数 什么是虚数 一个数，它的平方为负数。 虚数（imaginary number），意思就是虚构的数，它是同现实世界毫无关系的数。 √(-1)=i 卡尔达诺问题 虚数产生于16世纪，在当时的意大利有一本名叫《大术》的数学书中记载有这样一道题：有两个数，它们相加之和等于10，相乘之积等于40，这是两个什么数？ 有一个边长为5的正方形，如果能找到一个周长等于长方形、面积等于40的长方形，长方形的长和宽就是问题的答案。但是在周长相等的长方形中，面积最大的是正方形，所以卡尔达诺问题没有答案。 人们在遇到没有答案的问题时，就创造出新的数。 在所有数中，起源最早的是“自然数”，用来清点事物的个数。后来发展出四则运算法则，但是在除法运算时，出现了除不尽数，于是诞生了分数。 霍鲁斯之眼 公元前6世纪，毕达哥拉斯相信有理数就是数的全部。但是他的一个弟子希帕索斯发现了一个绝对无法用有理数表示的量，就是正方形的对角线。这一发现使得毕达哥拉斯的其他弟子大为惊恐，为了避免向外泄露这一发现，希帕索斯被溺水害死。 对于古希腊人来说，发现无理数是不可思议的，不过他们很快就接受了这种数，最终形成了“实数”的概念。 在《大术》中第一次出现了平方为负数的数。卡尔达诺通过对问题的讨论提出了一个重要思想：承认虚数，原来没有答案的问题也会有答案。 但是卡尔达诺又写道：这不过是在玩技巧，尽管可以使数学变得严谨，却没有什么实用价值。 虚数单位i的诞生 法国哲学家笛卡尔断定不可能用图形来表示负数的平方根，因此称它为虚数。 尽管无法作图表示，仍然有人研究虚数。虚数单位的符号i首先由欧拉确定下来，并且经过长期的研究，欧拉发现了一个被誉为“世界上最美的数学式”。 虚数的可视化 尽管欧拉向人们揭示了虚数的重要性后，仍然有很多人不承认虚数的存在。虚数尽管重要，但是没有视觉形象，还是难以接受。 最初，欧洲人也以同样的理由不承认负数的存在，因为那简直无法想象。 当时一个丹麦的测量员卡斯帕?维塞尔考虑：“既然数轴上没有虚数的位置，也许可以在数轴之外，利用从原点向上画出箭矢来表示虚数。” 与维塞尔同时，法国的一位会计师让?罗贝尔?阿冈和德国数学家卡尔?弗里德里克?高斯各自独立想到了这种方法。 高斯将平面上每一点代表的数叫做复数。 物理学中的虚数 毕达哥拉斯定理在二维和三维空间中都成立，如果在三维空间中加上一维时间，毕达哥拉斯定理是否仍然成立？ 爱因斯坦在狭义相对论中提出了四维时空的概念：四维时空中距离的平方等于三维空间距离的平方减去时间的平方。 如果使用了虚数，就可以像处理空间那样来处理时间。将减去时间的平方改为加上虚数时间的平方，这样，具有虚数值的时间就和空间毫无区别了。 牛顿力学、麦克斯韦电磁学、爱因斯坦相对论在没有虚数的情况下仍然成立，而量子力学却不行。 量子力学是一个没有虚数就不能成立的物理理论。 宇宙有一个无限的过去，还是有一个开端？ 霍金指出：宇宙之初存在的是一种虚数时间，是在不久之后才改变为实数时间的。提出虚数时间的意义在于：如果存在一种虚数时间，那么宇宙起源的问题便能够得到答案。 * * 组成霍鲁斯（荷路斯）(Horus)之眼的是古埃及的分数 *