实变函数与泛函分析-数学与统计学院-深圳大学.doc

深圳大学数学与计算科学学院 课程教学大纲 （2006年10月重印版） 课程编号 课程名称 实变函数与泛函分析 课程类别 综合选修 教材名称 实变函数与泛函分析基础 制 订 人 张文俊 审 核 人 胡鹏彦 2005年4月修订 （一）课程性质 1．课程类别：综合选修课 2．适应专业：数学与应用数学专业数学教育方向3．开设学期：第七学期 4．学时安排：周学时6，总学时72 5．学分分配：4学分 （二）开设目的 《实变函数与泛函分析》是数学分析课程的深化和发展。从内容上看，它将微积分中区域的面积推广到一般集合的测度，将区域上的黎曼积分推广到可测函数的勒贝格积分；从研究方法上看，它运用点集分析方法揭露函数的许多深刻性质。通过对实变函数与泛函分析的学习，培养学生综合运用分析数学的几何观点和方法，理解和研究分析数学中的许多问题，为进一步学习现代数学理论和理解现代科学技术提供必要的基础。 （三）基本要求 在学习本课程过程中，学生应特别注意培养自己的抽象思维能力与逻辑能力和基本概念实质的理解。 （四）主要内容 实变函数与泛函分析包括两部分内容：“实变函数”与“泛函分析”。“实变函数”主要学习测度论、可测函数论、积分论、微分与不定积分；“泛函分析”是通过在集合中引入各种结构，包括代数结构，拓扑结构、测度结构、序结构以及这些基本结构的各种复合，形成了各种各样的抽象空间，本课程主要研究这些抽象空间中的距离空间，赋范线性空间，内积空间的性质及其映射(线性算子和线性泛函)性质。 （五）先修课程 数学分析、解析几何、高等代数、复变函数 （六）后继课程 泛函分析 （七）考核方式 闭卷考试 （八）使用教材 程其襄等编：《实变函数与泛函数分析基础》，北京：高等教育出版社，2003年，第二版． （九）参考书目 匡纪昌编著：《实分析与泛函分析》，北京：高等教育出版社，2002年(国家级面向21世纪课程教材)． 二、教学内容 第一章 集合 教学目的 通过本章的系统学习，使学生熟悉集合列{Ak}的上极限集、下极限集、极限集的定义与交、并运算表示，集合的对等、基数概念；掌握有限集、可数集、不可数集的概念，可数集是最小的无限集的结论以及可数集的基本运算性质，自然数集、整数集、有理数集等的可数性，有理数集在实数轴上的稠密性。 主要内容 1 集合概念 2 集合的运算 3 对等与基数 4 可数集、不可数集 教学要求 1 熟悉集合列{Ak}的上、下极限集、极限集的定义与交、并运算表示；掌握单调集合列{Ak}的概念及其极限集的求法。 2 熟悉集合的对等概念，熟悉对等是一个等价关系；熟悉集合对等的Cantor-Bernstein定理; 掌握集合对等的夹挤定理。 3 熟悉集合的基数概念；掌握有限集、可数集、不可数集的概念；掌握可数集是最小的无限集的结论以及可数集的基本运算性质; 掌握自然数集、整数集、有理数集等的可数性；掌握有理数集在实数轴上的稠密性；熟悉无理数集、实数集、区间点集等的不可数性。 4 熟悉对角线法；会建立正有理数集与自然数集等常见的可数集之间的对等关系；会建立开区间、闭区间、半开半闭区间等常见的不可数集之间的对等关系。 第二章 点集 教学目的 通过本章的系统学习，使学生掌握内点、极限点、开集、闭集等拓扑概念及其性质，Cantor集的构造及其性质。 主要内容 1距离空间及其中开集、闭集等拓扑概念2. 用开集、闭集刻画连续性 3Rn中开集、闭集的构造、Cantor集 4覆盖、有限覆盖、可数覆盖 教学要求 1深刻理解和熟悉掌握内点、极限点、开集、闭集等拓扑概念及其性质、并能熟练运用这些概念进行逻辑推理2. 掌握Cantor集的构造及其性质3. 了解连续性、覆盖等概念。 第三章 测度论 教学目的 通过本章的系统学习，使学生熟悉测度的基本性质，深刻理解和掌握外测度与测度的概念。 主要内容 1Lebesgue测度、测度的定义、性质2. 抽象外测度与测度 教学要求 1 深刻理解和掌握外测度与测度的概念 2. 熟悉测度的基本性质3. 了解从Rn 上的外测度与测度推广到一般集合上的基本思路。 第四章 可测函数 教学目的 通过本章的系统学习，使学生掌握可测函数的定义及其基本性质，可测函数列的几种不同的收敛概念及其相互关系。 主要内容 可测函数的定义及其基本性质 可测函数列的若干收敛性定义(几乎处处收敛、几乎一致收敛、依测度收敛)及其相互联系(Eorou定理，Lebesgue 定理，Riesz定理等) 可测函数的结构(Luzin定理) 教学要求 1掌握可测函数的定义及其基本性质2. 掌握可测函数列的几种不同的收敛概念及其相互关系，了解Egorou定