设g,为群，则.ppt

8.6 特殊群：循环群与置换群 (7)所有的n元置换构成的集合 构成群：封闭，可结合，幺元，恒等置换(1)，逆置换 8.3 子群 例8-7：设G为群，H，K是G的子群，则： 8.3 子群 3.构造G的全部子群的方法 1.第0层：{e} 2.第1层：a： 3.第2层：b： …… 例： 0层：{0}； 1层：1= ，2=10={0,2,4,6,8,10}，3= 9={0,3,6,9}，4=8={0,4,8},5=7= ,6={0,6} ∴4,6； 8.3 子群 2层：6 3, 4∪6=2=10 ∴2,3 3层：2∪3，即G。 子群格：G为群，S={H|H≤G}， ，ARB =A≤B，S,R构成偏序集，称为群G的子群格。 8.4 陪集与拉格朗日定理 1.群中子集合的乘积 定义8.10：设G,*为群， ，且A，B非空，则 称为A，B的乘积。 (1)一般地：|AB|≠|A||B|，当G可交换时，AB=BA (2)当A={a}时，记{a}B=aB (3)性质：设G,*为群， ，且A，B，C非空，则：i):(AB)C=A(BC)；ii):eA=Ae=A 定义8.11：设H,*为G,*的子群，任一 ，称gH为H的左陪集(Left coset)，称Hg为H的右陪集(Right coset)，这里： 8.4 陪集与拉格朗日定理 例：G为Klein四元群，H={e，a}是G的子群，则H的所有右陪集为：He={e，a}=H，Ha={a，e}=H，Hb={b，c}，Hc={c，b} 2.陪集的性质 定理8.12：设H,*为G,*的子群,则： 8.4 陪集与拉格朗日定理 8.4 陪集与拉格朗日定理 定理8.13：设H,*为G,*的子群,有： 定理8.14：任意两陪集或相同或不相交，即设H,*为G,*的子群， 8.4 陪集与拉格朗日定理 8.4 陪集与拉格朗日定理 定理8.15：设H,*为G,*的子群, ，有：a，b属于H的同一左陪集= 利用陪集还可以定义陪集等价关系。 8.4 陪集与拉格朗日定理 定理8.16：设H,*为G,*的子群，则 是G上的等价关系，且 ，称R为群G上H左陪集等价关系。 8.4 陪集与拉格朗日定理 定义8.11：设H,*为G,*的子群，对 ，如果有 ，则称a，b为模H同余关系，记为： 由定理8.16知：H的所有左陪集构成了G的一个划分，同样地，H的所有右陪集也构成了G的一个划分，令S={Ha|a G}, T={aH|a G}，还可证明|S|=|T|。 8.4 陪集与拉格朗日定理 H在G中的左陪集数和右陪集数相等，统称为H在G中的陪集数，也叫H在G中的指数，记为[G:H]。 由以上分析可导出拉格朗日定理。 8.4 陪集与拉格朗日定理 定理8.17：设G是有限群，H是G的子群，则|G|=|H|·[G:H]。 拉格朗日逆定理不成立，因此，据此定理只可判别一子代数“非子群”，却不可用它来判别一个子代数“是子群”。 8.4 陪集与拉格朗日定理 推论1：设G是n阶群，则 ，|a|是n的因子，且 推论2：质数阶的群没有非平凡子群。 证：若有非平凡子群，则其子群的阶必是原来群的阶的一个因子，与原来群的阶是质数矛盾。 8.4 陪集与拉格朗日定理 推论3：设G,*是群且|G|=4，则G同构与4阶循环群 或Klein四元群 。 8.5 正规子群与商群 1.正规子群 定义8.12：设H,*为G,*的子群，如果对任一 ，有gH=Hg，则称H是G的正规子群，记作 (1)：任何群都有正规子群：G，{e}； (2)：当G为阿贝尔群时，G的所有子群都是正规子群； (3)：正规子群要求gH=Hg，但并不意味着g与H中的每个元素相乘都是可交换的； (4)：正规子群的左陪集和右陪集统称为陪集。 正规子群的判定定理 8.5 正规子群与商群 定理8.17：设H,*为G,*的子群，H,*是G,*的正规子群当且仅当 8.5 正规子群与商群 2.商群 利用群的正规子群可以诱导出一个新的群，这个群比原来的群简单却又保留了原来群的许多性质。 设H,*为G,*的正规子群，H在G中的所有陪集形成一个集合，即G/H={gH|g G}(或{Hg|g G})，在G/H上定义运算ο： 定理8.18：设H,*为G,*的正规子群，群G的商代数系统 G/H,ο构成群。 8.5 正规子群与商群 8.5 正规子群与商群 定义8.13：群G的正规子群H的所有陪集在运算