07.复变函数.ppt

工程数学 复变函数 复数的运算 复数的运算 复数的运算 复数的运算 复变函数 复变函数 复变函数 复变函数 导数 导数 解析函数 解析函数 解析函数 解析函数 解析函数 平面标量场 平面标量场 平面标量场 平面标量场 多值函数 多值函数 多值函数 作业 例：平面静电场的电场线为抛物线族y2=c2+2cx (参数c0)，求等势线 平4/4 常见多值函数：根式函数，对数函数 基本性质 单值分支：多值函数的不同形式 例：根式函数 支点：对于多值函数w=f(z)，如果z绕某z0点n周，函数值w复原，且在点z0单值分支函数值相同，那么点z0称为多值函数的n-1阶支点 例：z0=0,?是根式函数 的1阶支点 多1/3 3/lesson/EngineeringMathematics 复变函数 复数的运算 复变函数 导数 解析函数 平面标量场 多值函数 目1/1 基本概念 代数式：复数z可以表示为实数x与纯虚数iy的和z=x+iy ；x和y分别称为该复数的实部Re z和虚部Im z 复数平面：将x和y当作平面上点的坐标 两个坐标轴分别称为实轴和虚轴 三角式/指数式：用极坐标r和j代替直角坐标x和y，即 r和j分别称为该复数的模|z|和辐角Arg z 满足 0?Arg z2p 称为辐角的主值/主辐角arg z，那么 零复数(0+i0)的辐角无意义 复数z的共轭： 复1/4 无限远点 将模为无限大的复数跟复数平面上的一点对应，称为无限远点 测地投影 在复数平面上 放置一个球(称为复数球)，以 南极S跟复数平面切于原点 复数平面的任一点A(即复数)与 复数球北极N的连线交与A点 复数平面上的有限远点与复数球上的非N点一一对应 复数平面上的无限远点与复数球上的N点一一对应 无限远点实际是模为无限大的复数的集合，记作?，它的辐角没有意义 O S N A A 复2/4 复数的运算 加法：复数z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和z1+z2，定义为 z1+z2 ? (x1+x2)+i(y1+y2) 加法满足交换律和结合律 两个复数的和对应两个矢量的和，即|z1+z2|?|z1|+|z2| 减法：复数z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的差z1-z2，定义为 z1-z2 ? (x1-x2)+i(y1-y2) 两个复数的差对应两个矢量的差，即|z1-z2|?| |z1|-|z2| | 乘法：复数z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的积z1z2，定义为 z1z2 ? (x1+iy1)(x2+iy2) = (x1x2-y1y2)+i(x1y2-x2y1) 乘法满足交换律和结合律 除法：复数z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的商z1/z2，定义为 复3/4 三角式/指数式下的运算 乘法 除法 n次幂 n次根 因辐角j/n可以加减2p/n的整数倍，故可有n个取值 复变函数与实变函数的对比 复数z=x+iy包含实部x与虚部y，即一对实数 复变数z逼近复常数z0，等同于x?x0和y?y0 实变数的和、差、积、商的极限理论，全部适用于复变数 复4/4 复变函数的定义 如果在复数平面(或球面)上存在点集E(复数的集合)，对于E的每一点(每一个z)，按照一定的规律，存在一个或多个复数值w与之对应，那么称w为z的函数，即复变函数 w = f(z), z?E z称为w的宗量，定义域为E 主要研究解析函数 区域的概念 邻域：以复数z0为圆心，以任意小正实数e为半径的圆，园内所有点的集合称为z0的邻域 内点：如果z0及其邻域均属于点集E，那么称为E的内点 外点：如果z0及其邻域均不属于E，那么称为E的外点 数1/4 边界点：如果z0的每个邻域内，既有属于E的点，又有不属于E的点，那么称z0为E的边界点 边界点既不是E的内点，也不是E的外点 边界线：边界点的全体 区域：满足下列两个条件的点集B 全由内点组成 具有连通性 闭区域：区域B及其边界线所组成的点集 例 圆形区域：|z-z0|r 环形区域：a|z-z0|b 圆形闭区域：|z-z0|?r 环形闭区域：a? |z-z0|?b 数2/4 复变函数例子 ez = ex+iy = exeiy = ex(cosy+i siny) sin z = , cos z = sh z = , ch z = ln z = ln (|z|ei Arg z) = ln|z|+i Arg z，zs = es ln z sin z和cos z的模 ez, sh z, ch z的周期 ez+2pi = ez, sh(z+2pi) = sh z, ch(z+2pi) = c