北京大学量子力学课件摘要.ppt

（2）在新 0 级近似波函数|ψn? 0 为基矢的 k 维子空间中，H’从 而 H的矩阵形式是对角化的。 证： 上式最后一步利用了Eq. 5 关系式。所以 H’在新0级近似波函数为基矢的表象中是对角化的。 [证毕] 因为 H0在自身表象中是对角化的，所以在新0级近似波函数为基矢的表象中也是对角化的。 当 ? ? 时，上式给出如下关系式： 也就是说，能量一级修正是 H’在新 0 级波函数中的平均值。这一结论也是预料之中的事。求解简并微扰问题，从本质上讲就是寻找一么正变换矩阵 S，使 H’从而 H 对角化。求解久期方程和线性方程组就是寻找这一么正变换矩阵的方法。 例如：前面讲到的例 2 应用简并微扰论解得的新 0 级近似波函数是： 这是新 0 级近似波函数在原简并波函数φi i 1,2,3. 为基矢所张开的子空间中的矩阵表示，即 我们求解 就是为了寻找一个么正变换 S，使原来的 H H0 + H’ 在以 φi 为基矢的表象中的表示变到 ψ? 0 为基矢的表象中，从而使H 对角化。 根据等式两边λ同幂次的系数应该相等，可得到如下一系列方程式: 整理后得： 上面的第一式就是H 0 的本征方程，第二、三式分别是|ψn 1 和|ψn 2 所满足的方程，由此可解得能量和态矢的第一、二级修正。 现在我们借助于未微扰体系的态矢|ψn 0 和本征能量 E n 0 来导出扰动后的态矢|ψn 和能量 En 的表达式。 1 能量一级修正λ E n 1 根据力学量本征矢的完备性假定， H 0 的本征矢|ψn 0 是完备的，任何态矢量都可按其展开，|ψn 1 也不例外。因此我们可以将态矢的一级修正展开为： akn 1 ψk 0 |ψn 1 代回前面的第二式并计及第一式得： 左乘 ψm 0 | （二）态矢和能量的一级修正 考虑到本征基矢的正交归一性： 考虑两种情况 1. m n 2. m ≠ n 准确到一阶微扰的体系能量： 其中能量的一级修正等于微扰 Hamilton 量在 0 级态矢中的平均值 （2）态矢的一级修正 |ψn 1 为了求出体系态矢的一级修正，我们先利用扰动态矢|ψn 的归一化条件证明上式展开系数中an n 1 0 （可以取为 0 ）。 基于|ψn 的归一化条件并考虑上面的展开式， 证： 由于 归一， 所以 an n 1 的实部为 0。an n 1 是一个纯虚数，故可令 an n 1 i ? （ ? 为实）。 上式结果表明，展开式中，an n 1 |ψn 0 项的存在只不过是使整个态矢量|ψn 增加了一个相因子，这是无关紧要的。所以我们可取 ? 0，即 an n 1 0。这样一来， 与求态矢的一阶修正一样，将|ψn 2 按 |ψn 0 展开： 与|ψn 1 展开式一起代入 关于 ?2 的第三式 （三）能量的二阶修正 左乘态矢 ψm 0 | 1. 当 m n 时 在推导中使用了微扰矩阵的厄密性 正交归一性 2. 当 m ≠ n 时 能量的二级修正 在计及二阶修正后，扰动体系能量本征值由下式给出： 总结上述， 在非简并情况下，受扰动体系的能量和态矢量分别由下式给出： 欲使二式有意义，则要求二级数收敛。由于不知道级数的一般项，无法判断级数的收敛性，我们只能要求级数已知项中，后项远小于前项。由此我们得到微扰理论适用条件是： 这就是本节开始时提到的关于 H’ 很小的明确表示式。当这一条件被满足时，由上式计算得到的一级修正通常可给出相当精确的结果。 （四）微扰理论适用条件 微扰适用条件表明： （2）|En 0 – Ek 0 | 要大，即能级间距要宽。 例如：在库仑场中，体系能量（能级）与量子数n2成反比，即 En - μ Z2 e2 /2 ?2 n2 n 1, 2, 3, ... 由上式可见，当n大时，能级间距变小，因此微扰理论不适用于计算高能级（n大）的修正，而只适用于计算低能级（n小）的修正。 （1）|H’kn| | ψk 0 | H’ |ψn 0 | 要小，即微扰矩阵元要小； 表明扰动态矢|ψn 可以看成是未扰动态矢|ψk 0 的线性叠加。 （2）展开系数 H’k n / E n 0 - E k 0 表明第k个未扰动态矢|ψk 0 对第n个扰动态矢|ψn 的贡献有多大。展开系数反比于扰动前状态间的能量间隔，所以能量最接近的态|ψk 0 混合的也越强。因此态矢一阶修正无须计算无限多项。 （3）由En E n 0 + Hn n可知，扰动后体系能量是由扰动前第n态能量E n 0 加上微扰H