导数与微分的定义要点.ppt

一、 引例 2. 曲线的切线斜率 两个问题的共性: 二、导数的定义 由定义求导数的步骤 一些基本初等函数的导数 常数函数的导数 幂函数的导数 正（余）弦函数的导数 对数函数的导数 指数函数的导数 常数函数的导数 正弦函数的导数 说明： 对数函数的导数 指数函数的导数 五、 单侧导数 定理2. 函数 四、 函数的可导性与连续性的关系 分段函数在分段点的可导性 7. 设 三、 导数的几何意义 一、微分的概念 定义: 若函数 定理 : 函数 定理 : 函数 说明: 微分的几何意义 例如, 内容小结 思考与练习 2. 设 基本初等函数的微分公式 (见 P66表) 又如, 第二章 导数与微分 微积分学的创始人: 德国数学家 Leibniz 微分学 导数 描述函数变化快慢 微分 描述函数变化程度 都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数) 导数思想最早由法国 数学家 Ferma 在研究 极值问题中提出. 英国数学家 Newton 第一节 1.导数和微分的定义 一、导数的定义 四、导数的几何意义 三、函数的可导性与连续性的关系 二、单侧导数 五、微分 1. 变速直线运动的速度 设描述质点运动位置的函数为 则 到 的平均速度为 而在 时刻的瞬时速度为 自由落体运动 曲线 在 M 点处的切线 割线 M N 的极限位置 M T (当 时) 割线 M N 的斜率 切线 MT 的斜率 瞬时速度 切线斜率 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 . 类似问题还有: 加速度 角速度 线密度 电流强度 是速度增量与时间增量之比的极限 是转角增量与时间增量之比的极限 是质量增量与长度增量之比的极限 是电量增量与时间增量之比的极限 变化率问题 定义1 . 设函数 在点 存在, 并称此极限为 记作: 即 则称函数 若 的某邻域内有定义 , 在点 处可导, 在点 的导数. 运动质点的位置函数 在 时刻的瞬时速度 曲线 在 M 点处的切线斜率 若上述极限不存在 , 在点 不可导. 若 也称 在 若函数在开区间 I 内每点都可导, 此时导数值构成的新函数称为导函数. 记作: 注意: 就说函数 就称函数在 I 内可导. 的导数为无穷大 . 解 注： 例2. 解 所以 同理可得 例1. 例3. 求函数 解: 幂函数的导数 的导数 更一般地 对一般幂函数 ( 为常数) 例如， （以后将证明） 解  例4. 解 例5. （见1-4函数连续性的例3 ） 在点 的某个右 邻域内 若极限 则称此极限值为 在 处的右 导数, 记作 即 (左) (左) 例如, 在 x = 0 处有 定义2 . 设函数 有定义, 存在, 在点 且 存在 简写为 若函数 与 都存在 , 则称 在开区间 内可导, 在闭区间 上可导. 可导的充分必要条件 是 且 定理1. 证: 设 在点 x 处可导, 存在 , 因此必有 其中 故 所以函数 在点 x 连续 . 即 在 处的连续但不可导。 注意: 函数在点 x 连续未必可导. 证 例1: 处连续但不可导 在 试证 处连续。 在 处不可导。 在 例2: 0 －1/π 1 0 1 解 例6. , 问 a 取何值时, 在 都存在 , 并求出 解: 故 时 此时 在 都存在, 显然该函数在 x = 0 连续 . 曲线 在点 的切线斜率为 若 曲线过 上升; 若 曲线过 下降; 若 切线与 x 轴平行, 称为驻点; 若 切线与 x 轴垂直 . y x 曲线在点 处的 切线方程: 法线方程: 切线 法线 例8， 求曲线 在 处的 切线方程和法线方程。 解： 切线方程： 法线方程： 引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 面积的增量为 关于△x 的线性主部 高阶无穷小 时为 故 称为函数在 的微分 当 x 在 取 得增量 时, 变到 边长由 其 的微分, 在点 的增量可表示为 ( A 为不依赖于△x 的常数) 则称函数 而 称为 记作 即 定理: 可微的充要条件是 则 在点 可微, 证: “必要性” 已知 在点 可微 , 则 故 在点 的可导, 且 在点 可微的充要条件是 在点 处可导, 且 即 在点 可微的充要条件是 在点 处可导, 且 即 “充分性” 已知 即 在点 的可导, 则 时 , 所以 时 很小时, 有近似公式 与 是等价无穷小, 当 故当 当 很小时, 则有