《创新大课堂》高三人教数学理一轮复习课件：第10章 第9节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布要点.ppt

第九节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布(理) [主干知识梳理] 一、均值 1．一般地，若离散型随机变量X的分布列为： 　则称E(X)＝ 为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的 ． 2．若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝ . 3．(1)若X服从两点分布，则E(X)＝ ； (2)若X～B(n，p)，则E(X)＝ . 二、方差 1．设离散型随机变量X的分布列为： 2．D(aX＋b)＝ ． 3．若X服从两点分布，则D(X)＝ ． 4．若X～B(n，p)，则D(X)＝ ． (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越 ，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越 ，表示总体的分布越 ． 2．正态分布的三个常用数据： (1)P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝ ； (2)P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝ ； (3)P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝ . [基础自测自评] 1．(2013·广东高考)已知离散型随机变量X的分布列为 2．已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)．若P(ξ＞2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝ (　　) A．0.477 B．0.628 C．0.954 D．0.977 C　[∵μ＝0，∴P(ξ＞2)＝P(ξ＜－2)＝0.023， ∴P(－2≤ξ≤2)＝1－2×0.023＝0.954.] 3．(教材习题改编)设随机变量X～B(n，p)且E(X)＝1.6，D(X)＝1.28则 (　　) A．n＝8　p＝0.2 B．n＝4　p＝0.4 C．n＝5　p＝0.32 D．n＝7　p＝0.45 A　[∵X～B(n，p)，∴E(X)＝np＝1.6， D(X)＝np(1－p)＝1.28，解得n＝8，p＝0.2.] [关键要点点拨] 1．均值与方差： (1)均值E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即X作为随机变量是可变的，而E(X)是不变的，它描述X值的取值平均状态． (2)D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏散程度，D(X)越小，X的取值越集中，D(X)越大，X的取值越分散． 2．由正态分布计算实际问题中的概率百分比时，关键是把正态分布的两个重要参数μ、σ求出，然后确定三个区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]与已知概率值进行联系求解. (1)求此人到达当日空气重度污染的概率； (2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望； (3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明) [规律方法] 1．求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出其分布列，正确利用公式计算．若随机变量服从二项分布，则可直接代入公式E(X)＝np， D(X)＝np(1－p)计算． 2．注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)的应用． [跟踪训练] 1．(2013·重庆高考)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球．根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下： 其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级． (1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率； (2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与期望E(X)． 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率． ①若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差； ②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由． (2)①X可能的取值为60,70,80，并且 P(X＝60)＝0.1，P(X＝70)＝0.2，P(X＝80)＝0.7. X的分布列为： X的数学期望为 E(X)＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76. X的方差为 D(X)＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44. ②答案一：花店一天应购进16枝玫瑰花．理由如下： 若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为： Y的数学期望为E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4. Y的方差为D(Y)＝(55－76.4)2×0.1＋(65－76.4)2