§4.7已知三角函数值求角、正弦定理和余弦定理.docVIP

§4.7 已知三角函数值求角 正弦定理和余弦定理 预备知识 (已知锐角，求三角函数值 (三角形的分类 (角( 终边上的点的坐标 重点 (已知三角函数值，在主值区间内求出对应的角 (理解正弦定理和余弦定理，并能应用 难点 (正弦定理和余弦定理的应用 (解斜三角形问题 学习要求 (已知三角函数值，能在主值区间内求出对应的角 (掌握正弦定理和余弦定理可以解斜三角形的类型及其解法 (能应用正弦定理和余弦定理解决一些简单的实际问题 　　在§4.5中，你已经学会如何计算已知角的三角函数的函数值．可以把它分为两类，第一类，对特殊角，你应该记住函数值；第二类，对一般角可以使用计算器求得函数值．但在数学和实际生活中，在很多时候遇到的问题是相反的：已知三角函数值，要求相应的角的大小．例如在Rt⊿ABC中，已知AC=8.5, BC=5，求(A(见图4-41)．因为 tanA=，所以问题成为已知一个角的正切， 反求角(A． 1.　已知三角函数值求角 (1)已知特殊角三角函数值求角 记得在§4.5中，曾经要求你熟记特殊角的三角函数值吗(见表4-2)？反过来，如果已知的三角函数值是特殊角三角函数值表中的数值――姑且称其为特殊三角函数值，那么，你当然也应该立即知道角．如 sinx= ( x=,； tanx= ( x=； 等等．求出一个或两个角后，根据三角函数的周期，还可以得到无限多个角，如从sin x=，除了得到x=,外，还有 x=2k(+, 2k( + ( k(Z) 都是满足sin x=的角；从tan x=，除了x=外，也还有 x= k(+ (k(Z) 也都是满足tan x=的角．你当然会产生疑问：在这么许多可能的角中，我到底应该求哪个角？其实，只要求出一个角后，其它无限多个满足要求的角，都是可以推算出来的，至于怎么推算，除了加或减周期外，还可以用其它公式来得到，这将在第五章中介绍．目前在没有介绍这些公式之前，我们的要求是(下文中的a，是特殊三角函数值或它们的相反数)： ①已知正弦函数值sinx=a，若a(0，求在[0,］内的角x；若a0，求在[-,0) 内的角x； ②已知余弦函数值cosx=a，求在[0,(]内的角x； 　　③已知正切函数值tanx=a，若a(0，求在[0,)内的角x；若a0，求在(-,0) 内的角x． 为了叙述方便，称上面求角的范围为主值区间．即对正弦函数，主值区间是[-,]；余弦函数的主值区间是[0,(]；正切函数的主值区间则是(-,)． 以前遇到负角，我们总是把它化为一个周期内的正角，很少直接处理负角．因此首先考虑已知sinx或tanx值a0，怎么求在(-,0)内的角的问题．只要看一下图4-42就可以得到解答．图上 的圆O是单位圆，角x和角-x的正弦线MP, MP (、正切线AT, AT (的数值正好互为相反数， 因此 sin(-x)=-sinx, tan(-x)=-tanx． 这样，若已知sinx或tanx值a0，你可以先求 出(0,)内的x，满足 sinx=(a(或tanx=(a(， 然后因为 sin(-x)=-sin x=-(a(=a 或 tan(-x)=-tan x=-(a(=a， 因此-x就是要求的答案． 例１　在各三角函数的主值区间内，求满足下列要求的x： 　　(1)sinx=-； (2)cosx=-； (3)tanx=1； (4)tanx=-； (5)sinx=-1； (6)cosx=； (7)sinx=； (8)cosx=1． 　　解　(1)因为　sin(-)=-，所以　x=- ▍ 　　(2)因为　cos=-，所以　x= ▍ (3)因为　tan=1，所以　x= ▍ (4)因为　tan(-)=-，所以　x=- ▍ (5)因为　sin(-)=-1，所以　x=- ▍　 (6)因为　cos=，所以 x= ▍ (7)因为　sin=，所以 x= ▍　　 (8)因为　cos0=1，所以　x=0 ▍ 课内练习1 1. 在主值区间内，求满足下列要求的x： (1)sinx=-； (2)cosx=-； (3)tanx=-； (4)tanx=-1； (5)cosx=-1； (6)cosx=0； (7)sinx=-． (2)已知非特殊三角函数值求角 　　如果已知的三角函数值，不是特殊角的三角函数值，可以使用计算器来求得角． 　　首先你要设定求出来的角用角度制还是弧度制表示，这你已经熟悉了，应该用MODE键切换来设定．如果切换成R