4 大数定理及中心极限定理.ppt

2. 设在第i 次试验中事件A发生的概率为 易知 , 而 ,由Lindebege—Levy中心极限定理有 (2)用 表示有1名家长来参加会议的学生数, 则 由De.Movie—Laplace中心极限定理有 1. 某保险公司的老年人寿保险有10000人参加,每人每年交12元, 在一年中一个人死亡的概率为 0.006，死亡时公司付给家属1000元, 试求 （1）保险公司亏本的概率. （2）保险公司一年的利润不少于40000元的概率是多少？ 解（1）设 为一年内投保老人的死亡数,则 , 其中 ,则由De.Movie--Laplace中心极限定理知 保险公司亏本的概率为： （2）保险公司获利不少于40000的概率为 * 第四章 大数定律和中心极限定理 §4.1 Chebychev’s不等式 随机变量序列的收敛性 §4.2 大数定律 §4.3 中心极限定理 本章讨论大量随机现象和的平均结果的概率稳定性和它的概率分布。 大量随机现象的和常用R.V.和的极限来表示，概率论中用来阐述大量随机现象平均结果的概率稳定性的一系列定理称为大数定律（Law of Large numbers），大数定律揭示了随机现象偶然性与必然性之间的关系。 中心极限定理（Central Limit Theorem）是用来描述R.V.和的概率分布的极限的一系列定理，因为这个问题长期处于概率论研究的中心地位而得名。我们将会看到，当R.V.的个数趋于无穷时，独立R.V.和的概率分布以正态分布为其极限，因此正态分布在概率论中有重要的地位。 §4.1 Chebychev’s 不等式 随机变量序列的收敛性 一、Chebychev’s不等式 Th 设R.V. 具有有限的数学期望 和方差 ，则 恒有 等价地有 Proof: (连续型情况的证明) 设R.V. 的密度函数为 ，则 注: (1)由Chebychev’s不等式的等价表示知：当 越小时， 越大， 取值于 内的概率就愈大，即 的取值越集中在 附近，由此说明方差的大小反映了R.V.取值的分散程度。 (2)Chebychev’s不等式给出了当R.V. 的 已知而分布未知时，估计随机事件概率的一种方法。 (3)由Chebychev’s不等式的等价表示知:当 时，有 即不论R.V. 服从什么分布,只要其期望和方差存在,在每次试验中R.V.的取值落在区间 和区间 内的概率分别不小于88.89%和93.75%。 例4.1 解：设该地区次小麦品种的亩产量为X. 例4.2 二、随机变量序列的收敛性 Def 设 为随机变量序列，若存在R.V. 使得 ，恒有 成立，则称R.V.序列 依概率收敛于R.V. ，记作： 或 显然 等价于 依概率收敛的意义： 随着 的增大，R.V. 与 的偏差 很小这个事件发生的概率将会很大， 即当 较大