点集拓扑-数学与统计学院-深圳大学.docVIP

深圳大学数学与计算科学学院 课程教学大纲 （2006年10月重印版） 课程编号 课程名称 点集拓扑 课程类别 综合选修 教材名称 点集拓扑 制 订 人 陈冬梅 审 核 人 杨和平 2005年4月修订 一、课程设计的指导思想 （一）课程性质 1．课程类别：综合选修课 2．适应专业：数学与应用数学专业（数学教育方向） 3．开设学期：每学期 4．学时安排：周学时3，总学时54 5．学分分配：3学分 （二）开设目的 《点集拓扑》是现代数学中一门较新的数学分支，它用公理化方法建立开集和邻域从而形成一个集合的拓扑结构，进而又讨论了在这一框架下空间的性质。拓扑结构是根植于肥沃的经典分析和数学物理土壤之中的，所以，由此发展起来的基本概念、定理和方法也就显得更为广泛、更为深刻。它在许多数学分之中有广泛的应用。现在，点集拓扑已经发展成为一门内容丰富、方法系统、体系完备、应用广泛的分支。通过该课程的学习，学生不仅能学到点集拓扑的基本理论和方法，而且对学习其它数学分支如代数拓扑、泛函分析、微分流形等有很大帮助；另一方面，通过本课程的学习，还可以提高学生的数学素养，扩大学生的数学知识面。 （三）基本要求 掌握拓扑学中比较有应用价值的基础概念和基本方法，并在此基础上，使学生掌握拓扑学研究问题的整体性、抽象性及高度概括性，力求活跃其数学思想，从而培养学生运用较高层次的数学观点和数学知识，对实际问题进行分析、归纳、提炼和解决。 （四）主要内容 本课程主要介绍集合论、连续映射、连通空间、分离性、紧致性等概念。重点介绍拓扑、基、次基的构成，几种分离性的关系，紧致性的特征、乘积空间拓扑的组成和性质等。 （五）先修课程 数学分析 （六）后继课程 代数拓扑等有关课程 （七）考核方式 闭卷考试 （八）使用教材 熊金城编《点集拓扑讲义》，北京：高等教育出版社，1999年第2版. （九）参考书目 （1）尤承业编《基础拓扑学讲义》，北京：北京大学出版社，1997年. （2）江泽涵编《拓扑学引论》，上海：上海科学技术出版社，1978年. （3）李传孝编《一般拓扑学导引》，北京：高等教育出版社出版，1999年. 二、教学内容 第一章 集合论初步 教学目的 从朴素的“集合”和“元素”出发介绍有关集合论的一些基本知识，为下一章在集合中建立拓扑结构做好充足的准备。 主要内容 第一节 集合的基本概念 集合的并、交、补 关系 等价关系 映射等势集、可数集、不可数集 掌握：集合的一些基本概念，集合的运算定律，基数的概念与性质，可数集的概念、性质与可数基数的运算、定律，基数比较定理，偏序的概念，性质，关系的概念，性质与表示方法，关系的运算与性质，映射的概念、性质与运算。 第二章 拓扑空间与连续映射 教学目的 步入本门课程的主题，引入拓扑空间的概念—用公理化方法建立开集和邻域来形成一个集合的拓扑结构，并介绍拓扑空间的相关概念与基本性质。 主要内容 第一节 度量空间的基本概念 第二节 拓扑空间与连续映射 第三节 导集、闭集、闭包 第四节 内部，边界 第五节 拓扑的基和子基 教学要求 了解：导集、闭集、闭包、基、子基等概念。 熟悉：若干经常遇到的距离的概念与表示，如欧氏空间，离散空间，Hilbert 空间。 掌握：度量空间的概念与性质，拓扑空间的构造，连续影射的特征。 第三章 子空间，（有限）积空间和商空间 教学目的 介绍用已知的拓扑空间构造新的拓扑空间的三种方法，使得拓扑空间中的一个给定 的子集，有限个拓扑空间的笛卡儿积或一个拓扑空间中的商集都可以作为独立的拓扑对象进行考察。 主要内容 第一节 子空间 积空间 系 教学目的 通过讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质，包括连通性，局部连通性和弧连通性，使得学生能够区别一些互不同胚的空间。 主要内容 第一节 连通空间 第二节 连通性的某些简单应用 第三节 连通分支 第四节 局部连通空间 第五节 道路连通空间 教学要求 掌握：连通性与连通空间的概念与性质，连通性的某些简单的应用，如介质定理，Borsuk-Ulam定理， Brouwer不动点定理的证明，连通分支与连通子空间的概念与性质，局部连通空间，道路连通的概念与性质。 第五章 有关可数性的公里 教学目的 可数性是几个最常用的拓扑性质之一，通过前面的学习可以看出拓扑公里只概括了度量拓扑最基本的性质，而不是全部性质。可数性与下一章的分离性可以看作拓扑公里的补充。 主要内容 第一节 第一和第二可数性公理 可分空间 Lindeloff 空间 掌握：第一和第二可数性的概念，可数基与可数邻域基以及可分空间的概念与性质，及其间的关系，覆盖、开覆盖、可数覆盖与可数子覆盖的概念与性质， Li