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第五讲 线性方程组 * * 第一节 线性方程组的求解 rref（A） 将矩阵A化为阶梯形的最简式 null（A） 求满足AX＝0的解空间的一组基，即齐次 线性方程组的基础解系 一、齐次方程组的求解 【例１】求下列齐次线性方程组的一个基础解系，并写出 通解： 我们可以通过两种方法来解： 解法1： clear A＝[1 –1 1 –1;1 –1 –1 1;1 –1 –2 2]; rref(A) 执行后可得结果： ans= 1 -1 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 Matlab程序： ch501.m 由最简行阶梯型矩阵，得化简后的方程 取x2，x4为自由未知量，扩充方程组为 即 提取自由未知量系数形成的列向量为基础解系，记 所以齐次方程组的通解为 解法2： clear A＝[1 –1 1 –1;1 –1 –1 1;1 –1 –2 2]; B＝null(A，’r’) 执行后可得结果： B= 1 0 1 0 0 1 0 1 Matlab程序： ch502.m 易见，可直接得基础解系 二、非齐次线性方程组的求解 Matlab 命令的基本格式： 系数阵A满秩时，用左除法求线性方程 组AX＝b的解 C =[A,b]; D＝rref(C) 求线性方程组AX＝b的特解，即D的最后一列元素 X＝A\b 【例2】 求下列非齐次线性方程组的解： clear A=[5 6 0 0 0;1 5 6 0 0;0 1 5 6 0;0 0 1 5 6;0 0 0 1 5]; b=[1;0;0;0;1]; format rational x=A\b Matlab程序： ch503.m 执行后可得所求方程组的解. 【例3】 求下列非齐次线性方程组的通解. 建立M文件如下： clear A=[1 2 3 1;1 4 6 2;2 9 8 3;3 7 7 2]; b=[3;2;7;12]; C=[A,b] format rational rref(C) Matlab程序： ch504.m 三、线性方程组的应用 【例 4】 计算工资问题 一个木工，一个电工，一个油漆工，三个人相互同意彼此装修他们自己的房子。在装修之前，他们达成如下协议： （1）每人总共工作十天（包括给自己家干活在内）； （2）每人的日工资根据一般的市价在60~80元之间； （3）每人的日工资数应使得每人的总收入与总支出相等。 3 4 4 在油漆工家的工作天数 1 5 4 在电工家的工作天数 6 1 2 在木工家的工作天数 油漆工 电工 木工 下为他们协商后制定出的工作天数分配方案： 问题分析与数学模型: 这实际上是一个投入产出问题，设x1表示木工的日工资；x2表示电工的日工资；x3表示油漆工的日工资。 木工的10个工作日总收入为10x1，木工、电工及油漆工三人在木工家工作的天数分别为：2天、1天、6天，则木工的总支出为2x1+x2+6x3。 同理电工的收支平衡关系为： 4x1+5x2+x3=10x2 油漆工的收支平衡关系为： 4x1+4x2+3x3=10x3 联立上述三个方程并整理得： 程序与求解: clear format rat %输出有理数近似 A=[-8,1,6;4,-5,1;4,4,-7]; %系数矩阵 rref(A) %求A的行最简型 Matlab程序： ch505.m ans = 1 0 -31/36 0 1 -8/9 0 0 0 输出结果： 根据齐次方程组基础解系的理论 ，我们知道此齐次方程组的解为： 其中，k为任意实数。 最后，为了确定满足条件 的方程组的解，根据题意，我们取k＝72 。 尽管这一问题是在方程组的无穷多组解中寻求解答，但是由于题目条件限制，对于参数k,没有更多的选择余地。为了使日工资为整数值，可确定k=72,使得 木工日工资：62元／