五大数定律及中心极限定理人文科技.ppt

* 第五章 大数定律与中心极限定理 第一节 大数定律 第二节 中心极限定理 第一节 大数定律 上一页 下一页 返回 在概率论中,用来阐明大量随机现象平均结果的稳定性的一系列定理,称为大数定律. 有关论证大量随机变量的和的极限分布是正态分布的定理,叫做中心极限定理. 上一页 下一页 返回 上一页 下一页 返回 上一页 下一页 返回 例1 设X是掷一颗骰子所出现的点数,若给定ε=1,2,实 际计算P{|X-E(X)|≥ε},并验证契比雪夫不等式成立. 解 因为X的概率分布律是P{X=k}=1/6(k=1,2,…,6),所以 E(X)=7/2, D(X)=35/12, P{|X-7/2|≥1}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=5}+P{X=6}=2/3; P{|X-7/2|≥2}=P{X=1}+P{X=6}=1/3. ε=1： =35/122/3, ε=2： =1/4×35/12=35/481/3. 可见契比雪夫不等式成立. 上一页 下一页 返回 例2 设电站供电网有10000盏电灯,夜晚每一盏灯开灯的 概率都是0.7,而假定开、关时间彼此独立,估计夜晚同时 开着的灯数在6800与7200之间的概率. 解 设X表示在夜晚同时开着的灯的数目,它服从参数为 n=10000,p=0.7的二项分布. 若要准确计算,应该用贝努利公式： P{6800X7200}= 如果用契比雪夫不等式估计： E(X)=np=10000×0.7=7000, D(X)=npq=10000×0.7×0.3=2100, ≈0.95. P{6800X7200}=P{|X-7000|200}≥1- ≈0.95. ≈0.95. 上一页 下一页 返回 可见,虽然有10000盏灯,但是只要有供应7200盏灯的电力 就能够以相当大的概率保证够用.事实上，契比雪夫不等 式的估计只说明概率大于0.95,后面将具体求出这个概率 约为0.99999. 定义1 设Y1,Y2,…,Yn,…是一个随机变量序列，a是一个常 则称序列Y1,Y2,…,Yn,…依概率收敛于a,记为Yn a. a. 数,若对于任意正数ε有 定理1: 上一页 下一页 返回 证 因X1，X2，…相互独立，所以 又因 上一页 下一页 返回 所以,对于任意ε0,有 但是任何事件的概率都不超过1，即 因此 契比雪夫大数定律说明：在定理的条件下，当n充分大 时，n个独立随机变量的平均数这个随机变量的离散程 度是很小的.这意味着，经过算术平均以后得到的随机 变量 将比较密的聚集在它的数学期望 的附近,它与数学期望之差依概率收敛到0. 定理2: 上一页 下一页 返回 或 证明：设Xi表示第 i 次试验中事件A出现的次数，i=1,2,…,n,则X1,X2,…,Xn相互独立且均服从参数为p的 (0-1)分布，故有 E(Xi)=p, D(Xi)=p(1-p) i=1,2,…,n且 ，由契比雪夫大数定律知，对于任意的 ，有 （贝努利大数定律）设nA是n次独立重复试验中事件A出现的次数. p是事件A在每次试验中发生的概率 (0p1),则对任意的? 0有: 定理3: 上一页 下一页 返回 上一页 下一页 返回 注: 伯努利大数定律解决了两个问题 (1)频率稳定于概率,其含义是:事件A的频率依概率收敛于它的概率. (2)在实际运用中,当试验次数很大时,可用频率近似代替概率. 定理2中要求随机变量Xk(k=1,2,…,n)的方差存在.但在随 机变量服从同一分布的场合,并不需要这一要求,我们有 以下定理. (辛钦大数定律)设随机变量X1 ,X2 ,…,Xn ,… 相互独立,服从同一分布，且具有数学期望E(Xi)=? (i=1,2,…) ，则对于任意正数?,有 定理4: 上一页 下一页 返回 辛钦大数定律不要求方差存在,只要求数学期望 但除了独立性假设外,它还要求同分布.伯努利大数定律是辛钦大数定律的特例. 辛钦大数定律为求E(X)的近似值提供了理论依据,设想对X独立地重复观察n次,每次观察结果是一个随机变量,分别记作X1,X2,…,Xn,它们是相互独立的,且与X有相同分布.由辛钦大数定律知,当n充分大时,算术平均值 因此要得到某种牌号的显象管的平均寿命,可在其中抽取部分样品观察,当样品个数充分大时,用这些样品的寿命的算术平均值作为该牌号显象管的平均寿命(即数学期望) 注: 存在, 的近似值,误差会很小. 的任意小邻域内. (独立同分布的中心极限定理)设随机变量X1 ,X2 ,…,Xn ,