单位力法及超静定.ppt

例题4 计算图（a）所示开口圆环在 P力作用下切口的张开量 ΔAB . EI=常数. ? 当基本静定系上只作用外载荷F时（图c)， 弯矩为 当在B点沿X1方向作用一单位力时（图d)， 弯矩方程为 1 ? a A B F (c) A B (d) 应用莫尔积分，并设曲杆的EI为常量， 将?1F和?11代入 解得 曲杆任一横截面上的弯矩 ?/4 ?/4 A B a F ?/4 A B a F (e) 例题8 计算图(a)中所示桁架各杆的内力. 设各杆的材料相同， 横截面面积相等. 解：桁架内部有一个多余约束，所以各杆的内力确是超静定的. 以杆件4为多余约束，假想的把它切开，并代之以多余约束力 X1，得到图(b)所示的相当系统. a 4 3 5 1 2 6 a F X1 X1 (a) 4 3 5 1 2 6 F (b) ?1F表示杆4切口两侧截面因载荷而引起的沿X1方向的相对位 移；?11表示切口两侧截面因单位力而引起的沿X1方向的相对 位移（图d). 力法正则方程 1 1 4 3 5 1 2 6 4 3 5 1 2 6 F (c) (d) 由图(c)求出基本静定系在F作用下各杆的内力FNi 由图(d)求出在单位力作用下各杆的内力FNi 1 2 3 4 5 6 杆件编号 -F/2 a -Fa a 1 -F -F 0 0 0 1 1 1 a a a -Fa 0 0 0 a a a -F/2 F/2 F/2 应用莫尔定理 代入方程后求得 由叠加原理可知桁架内任一杆件的实际内力 例9 试求图示刚架的全部约束反力，刚架EI为常数. 解：① 刚架有两个多余约束， 为二次静不定结构; ② 选取并去除多余约束，代以多 余约束反力； X2 X1 ③ 建立力法正则方程 ④ 计算系数dij和自由项DiP 用莫尔定理求得 q a a A B q A B 1 1 x1 x1 x1 x2 x2 x2 A B q A B A B ⑤ 求多余约束反力 将上述结果代入力法正则方程可得 ⑥ 求其它支反力 由平衡方程得其它支反力，全部表示于图中. q A B 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定 * 材料力学 第12章 能量法与超静定问题 第十二章 能量法与超静定问题 §12-1 概述 §12-2 杆件变形能的计算 §12-3 单位荷载法 §12-4 能量法解超静定问题 §12-1 概述 一、能量方法 二、基本原理 能量法是求位移的普遍方法，可以求结构上任意点沿任意方向的位移。 §12-2 杆件变形能的计算 1、轴向拉压的变形能 2、扭转杆内的变形能 纯弯曲 横力弯曲 3、 弯曲变形的变形能 θ Me ? Me Me ? Me 4、组合变形的变形能 二、变形能的普遍表达式 —— 克拉贝隆原理（只限于线性结构） F--广义力 包括力和力偶 δ--广义位移 包括线位移和角位移 §12-3 单位荷载法 ? 莫尔定理 一、莫尔定理的推导 求任意点A的位移 f A F1 F2 A A 变形能为 A F1 F2 =1 F0 A F1 F2 fA F0=1 1、先在A点作用单位 力F0 ，再作用F1, F2力， 2、三个力同时作用时 任意截面的弯矩： 变形能： (Mohr积分) 二、普遍形式的莫尔定理 注意：上式中Δ应看成广义位移，把单位力看成与广义位移相对应的广义力. B 例题1 图示外伸梁，其抗弯刚度为 EI. 用单位载荷法求 C 点的挠度和转角. A C q F=qa a 2a B A A B C a 2a 1 解： x AB: （1）求截面的挠度（在 c 处加一单位力“1”） C q F=qa a 2a RA x 1/2 BC: B A A B C a 2a C q F=qa a 2a RA 1/2 x x 1 B A BC: AB: (2) 求 C 截面的转角 ( 在 c 处加一单位力偶） 1 x x A B C a 2a x C q F=qa a 2a RA x 1/2a （ ） 例题2 图示为一水平面内的曲杆，B 处为一刚性节点, ?ABC=90° 在 C 处承受竖直力 F，设两杆的抗弯刚度和抗扭刚度分别是 EI 和 GIp ，求 C 点竖向的位移. A B C F a b x x 解：在 C点加竖向单位力 BC: A B C F a b A B C 1 a b x x AB: x x A B C F a b A B C 1 a b x x 例题3 刚架受力如图，求A截面的垂直位移，水平位移及转角. A B C l l q AB： BC： 解：求A点铅垂位移（在A点加竖向单位力） x x x x A B C l