弹性力学第8章：空间问题的解答教案详解.ppt

其中拉普拉斯算子 4. 将式 代入应力边界条件，得用位 移表示的应力边界条件： 归结：按位移求解空间问题，位移 必须满足： §8－2 半空间体受重力 及均布压力 §8-3　半空间体在边界上受 法向集中力 §8－4　按应力求解空间问题 思考题 1、试考虑：从空间问题的相容方程，可以导出平 面应变问题的相容方程，却不能直接导出平面 应力问题的相容方程，为什么？(见例题4) 2、在表面均受到法向压力 q 作用的任意形状的 空间体，其应力分量是 试证明这些应力分量是该 问题之解 （对于多连体还应满足位移单值条 件）。 §8-5　等截面直杆的扭转 §8－6　扭转问题的薄膜比拟 §8－7 　椭圆截面杆的扭转 求出单位长度杆件的扭角： §8－8　矩形截面杆的扭转 由此解出 而 式 中的C为常数，其特解十分简单；而式 的通解为调和函数。C 可以由式 求出。 椭圆截面杆受M的扭转，可以由式(a),(b),(c)求解。 1. 为了满足式(b) ，可取 在椭圆边界上 椭圆截面杆 2. 将式(d)代入(a) ，解出 3. 再将式(d)及(e)代入式 (c)，求出 从而得出 z 向的位移为 可见横截面不保持为平面。只有当a=b 的圆截面时，w=0，才保持为平面。 对于 的狭矩形截面，从薄膜比拟来看, 在边界条件中，长边上应严格满足 而短边(x=±a/2)是 次要的，可忽略。 狭矩形截面杆 1. 狭矩形截面杆 的扭转 （2）在方程中，应主要考虑 y 向的导数， 而可忽略 x 向的导数，所以 由式 和 ，可得 可简化为 （3）将 代入 求出 所以狭矩形杆的解答为 矩形截面杆 2.一般矩形截面杆 的扭转 以狭矩形杆解答为基础，再迭加一个修正解的方法,进行求解： 应满足条件是 由上式可导出F应满足的条件: 从式（h）可解出F，再由式（g）得 ，然后求出应力等解答（用双曲函数和三角函数的级数表示）。书中列出了简化的结果，见式（8-34）和（8-35）。 3. 薄壁杆件的扭转 （2）从薄膜比拟可见，当狭矩形的a,b相同 时，直线形和曲线形截面的薄膜是相 似的，它们的 相同。 （1）薄壁杆件截面都是狭矩形 可以直接引用式 的解答。 薄壁杆件 （3）对于若干个狭矩形组成的构件， b.总扭矩是各个截面的扭矩之和， a.各个截面的扭角相同， （4）闭口薄壁杆件的扭转 设闭口薄壁杆的厚度为 ，中心线长为s，中心线包围的面积为A.应用薄膜比拟，取外边界 上， 则内边界上的 不能再任意选择，应取 ，如图，相当于有一块无重钢板悬挂于边界上。由薄膜比拟： 扭矩 解出 切应力 y x oz x z oy q h s (b)开口薄壁杆件 (a)闭口薄壁杆件 由此得出切应力 其中 ，代入得 为了求扭角K, 可考虑内边界 上无重钢板的平衡条件： 由薄膜比拟， 代入上式，求出 当薄壁杆厚度 为常量时， 思考题 试比较：矩形中心线的边长为a×b，厚度为δ的矩形的闭口薄壁杆件,和矩形开口薄壁件的切应力和扭角。 例题1 例题2 例题3 例题4 例题 解： 引用“弹性力学简明教程学习指导” §8-2中关于空间位移势函数 的解法， 应满足泊松方程 例题1 试证明位移势函数 能解任意弹性体受均布压力 q 的问题。 及边界条件。 取 满足泊松方程。由式（8-8）从 求出应力分量, 在边界面上，设法线的方向余弦为l,m,n, 则面力分量是 将应力代入3个边界条件，并求出 由此，得解答