数学形态学的应用.ppt

为简单起见，下面用一维函数来简单介绍式（8-15）的含义和运算操作机理。用一维函数时，式（8-15）可简化为 (fb)(s)=max{f(s-x)+b(x)| s-x ∈Df, x∈Db} （8-16） 和卷积相似，f(-x)是对应x轴原点的映射。对正的s，f(s-x)移向右边，对负的s，f(s-x)移向左边。要求(s-x)在f的定义域内并要求x的值在b的定义域内，是为了使f和b的交集非空（有相重合部分）。 注意，与8.2.2节中介绍二值膨胀时不同的是， 在式(8-15)和式(8-16)里是让f而不是让b反转平移。这是因为膨胀具有互换性， 而腐蚀不具有互换性。为了让膨胀和腐蚀的表达形式互相对应， 采用了式(8-15)和式(8-16)的表示， 但由图8-19中的例子可以看出，如果让b反转平移进行膨胀，其结果也完全一样。膨胀的计算是在由结构元素确定的邻域中选取fb的最大值，因此对灰值图像的膨胀操作有两类效果： ①如果结构元素的值都为正的，则输出图像会比输入图像亮；②根据输入图像中暗细节的灰度值以及它们的形状相对于结构元素的关系，它们在膨胀中或被消减或被除掉。 图8-19 灰值膨胀示意图 (a) 灰度膨胀过程； (b) 灰度膨胀结果 下面简单介绍膨胀和腐蚀的对偶性。膨胀和腐蚀相对于函数的补(补函数)和反射也是对偶的，对偶关系为 （8-17) （8-18) 这里函数的补定义为fC (x, y)= -f(x, y)，而函数的反射定义为bV(x, y)=b(-x, -y)。 8.3.3 灰值开、 闭运算 数学形态学中关于灰值开和闭运算的定义与它们在二值数学形态学中的对应运算是一致的。用结构元素b(灰值图像)对灰值图像f做开运算记为f ○ b，其定义为  f○b =（fb）b （8-19） 用结构元素b(灰值图像)对灰值图像f做闭运算记为f●b， 其定义为  f●b =（fb） b （8-20） 开、闭运算相对于函数的补和反射也是对偶的，对偶关系可写为  (f○b)C=(fC●bV） （8-21） (f●b)C=(fC○bV ) （8-22） 因为f (x，y)=-f (x，y)，所以式（8-21）和式（8-22）可写为  -(f○b)=(-fC●bV) （8-23） -(f●b)=(-f○bV) （8-24） 灰值开、闭运算也有简单的几何解释，如图8-20所示。在图(a)中，给出了一幅图像f (x, y)在y为常数时的一个剖面f(x)，其形状为一连串的山峰山谷。假设结构元素b是球状的，投影到x和f(x)平面上是个圆。下面分别讨论开、闭运算的情况。 用b对f 做开运算，即f○b，可看作将b贴着f 的下沿从一端滚到另一端。图8-20(b)给出了b在开运算中的几个位置，图8-20(c)给出了开运算操作的结果。从图8-20(c)可看出，对所有比b的直径小的山峰其高度和尖锐度都减弱了。换句话说，当b贴着f 的下沿滚动时，f 中没有与b接触的部位都削减到与b接触。实际中常用开运算操作消除与结构元素相比尺寸较小的亮细节，而保持图像整体灰度值和大的亮区域基本不受影响。具体地说就是， 第一步的腐蚀去除了小的亮细节并同时减弱了图像亮度，第二步的膨胀增加了图像亮度，但又不重新引入前面去除的细节。 图8-20 灰值开、闭运算示意图 用b对f做闭运算，即f●b，可看作将b贴着f 的上沿从一端滚到另一端。图8-20(d)给出了b在闭运算操作中的几个位置，图8-20(e)给出了闭运算操作的结果。从图8-20(e)可看出，山峰基本没有变化，而所有比b的直径小的山谷得到了“填充”。换句话说， 当b贴着f 的上沿滚动时，f 中没有与b接触的部位都得到“填充”， 使其与b接触。实际中常用闭运算操作消除与结构元素相比尺寸较小的暗细节，而保持图像整体灰度值和大的暗区域基本不受影响。具体说来，第一步的膨胀去除了小的暗细节并同时增强了图像亮度， 第二步的腐蚀减弱了图像亮度但又不重新引入前面去除的细节。 图8-21 灰值开闭运算实例 (a) 开运算的结果； (b) 闭运算的结果 利用最大最小值运算也可以把数学形态学的运算规则从二值图像推广到灰值图像。为此下面引入集合的顶面 (Top surface of a set，简写为T)和阴影 (Umbra of a surface， 简写为U)的概念。为了易于表达，先考虑在空