分离变量法-B教案详解.ppt

分离变量法 预备知识－常微分方程 1.1 有界弦的自由振动 1. 2 有限长杆的热传导问题 1.3 二维拉普拉斯方程的边值问题 一﹑常用的重要公式 1﹑牛顿莱布尼兹公式 2﹑分部积分公式 或 3﹑格林公式﹙格林定理﹚ 设 既是 型又是 型的平面区域，如果 与 都在 及其边界 上有连续的一阶偏导数，则︰ 其中 的方向是逆时针的。 或者︰ 其中 是曲线 的单位法向量 或者： 4﹑二重积分的分部积分公式 设 是 型又为 型的平面区域﹐如果 是在 及其边界上有连续的一阶偏导数的函数，则有： 证明：因为 又由格林公式有： 5﹑奥高公式 设三维区域 是由按块光滑的闭曲面 所围成的﹙ 是由有限片组成的，每一片可表成 ，而 以及它的一阶微商在平面 的对应区域上直到界限是连续的）另有 及 和 是在 上连续的，在 内有连续偏导数的任意函数 则有如下的奥-高公式 其中 是 在 点 处的外法向量 6﹑格林第一公式﹙三重积分的分部积分公式﹚ 在上述的奥-高公式中﹐令 ， ，其中 和 以及 它们的所有一阶偏导数在闭区域 上是连 续的，它们所有的二阶偏导数在 内是连续 的。即 只要注意到显然的恒等式： 我们就有如下的格林第一公式 或者： 其中用到方向导数的公式 即： 7﹑格林第二公式 在上述格林第一公式中，交换 ﹑ 的位置，然后两式消减，我们就得到格林第二公式： 它在位势方程和调和函数的研究中非常重要 二﹑常用的重要不等式 1﹑ 不等式 设 是 上连续且严格递增的实值函数，若 则： 其中 是 的反函数，等式当且仅当 成立 在上述不等式中取 得到： 若取 ，则有： ，其中 特例：取 ，则有： 对 ，有： 2﹑ 不等式 若 ，且 则： 3﹑ 不等式及其推广 若 是正整数，则： 这个不等式称为 不等式 推广：若 并且 ，则： 等式当且仅当 时成立。 基本概念与记号 一、基本记号与符号。 1﹑ 2﹑ 称为 算子 称为哈密顿算符（ 算符） 读作 3﹑ ， 表示 的边界 4﹑设 则： 表示在 内关于 连续的函数的集合 表示在 内关于 连续可微的函数的集合 表示在 上连同边界关于 连续的函数的集合 类似 又设