_6-2013中文第6章Bernoulli-Eulerbeam教程讲解.ppt

载荷与BCs: 引入边界的有限元方程为 解之得 从系统有限元方程得到支反力 最简单的EB梁单元有两个节点, i, j, 共4个自由度: 6.3二维梁单元形函数 第六章 二维Euler-Bernoulli梁单元 (6.3 二维梁单元形函数) 有4个自由度的2节点EB梁 满足2个节点C1 连续的简单形函数是三次 Hermitian 函数 ξ 从－1到1之间变化，在节点i处 (x = 0)为－1，在节点j处 (x =L)为1. Hermitian shape functions of plane EB beam element curvature-displacement matrix. 第六章 二维Euler-Bernoulli梁单元 (6.4 二维EB梁单刚及节点载荷) 6.4 二维EB梁单刚及节点载荷 Check stiffness matrix and nodal force by Maple Homework: (1) Derive the node force vector f(e) of EB beam element subject to a uniformly distributed moment m per unit length. (2) For arbitrary m(x), show that 第六章 二维Euler-Bernoulli梁单元 (6.5 Maple演示及例题) 6.5 Maple演示及例题 例 6.1: 一个等截面悬臂梁受到作用于自由端的向下集中力. 梁材料Young’s 模量 E=69.0 GPa. 1 2 解: 第一步: 计算单元刚度阵 有限元平衡方程 为 Can we solved above linear equations right now? 第二步: 施加边界条件 在梁的固定端 于是 得到方程组: 第三步: 求解有限元方程组 得到解为 注意这个有限元解与解析解完全一致. Recall that Thus 如果 q(x)=0, 则挠度 v 为 x 的三次多项式, 正好与用形函数插值假定的位移场一致. 如果没有分布载荷, EB 梁的有限元解就是简单梁理论的解析解. 例 6.2: 一个梁两端固定，在中点受集中力 P 和集中弯矩 M 作用. 求中点的挠度和转角，以及两端的支反力. 解: 有限元刚度阵为 系统有限元方程为 载荷与边界条件为 引入边界条件后的有限元方程为 解之得 从系统有限元方程，可以得到边界支反力 梁的应力为 例 6.3: 一个悬臂梁受分布载荷p作用. 求梁自由端的挠度和转角,以及固定端的支反力. 解: 节点载荷为 于是有限元方程为 载荷与边界条件为 得到引入边界条件的有限元方程 解之得 从有限元方程可以计算支反力 (1) 有限元解v(x) (for 0 x L) 与解析解有差异. 基于简单梁理论的解析解是x的四次多项式,而有限元解是x的三次多项式. (why?) 注释: Check with Maple (2) 如果忽略由于分布力等效到节点而产生的弯矩 m,则有 由此导致的误差会随着单元数量的增多而减少. 在一些有限元应用中有时忽略m，也能够通过使用更多的单元得到收敛解. 例 6.4: 如图，一个悬臂梁在自由端用一弹簧支撑，划分为2个单元。 P = 50 kN, k = 200 kN/m, L = 3 m, E = 210 GPa, I = 2×10-4 m4. 求自由端挠度和支反力. 解: 弹簧的刚度阵为 把这个刚度阵添加到系统总刚中 (see Example 6.2), 得到 计算力学 (力学系本科生) Chapter 6 二维Euler-Bernoulli 梁单元 6.1 二维梁理论 梁是用来承受横向载荷的结构 第六章 二维Euler-Bernoulli梁单元 (6.1二维梁理论) 梁的横向载荷主要由弯曲变形来承载 (中性面) neutral surface(中性面) ：位于上底面和下底面之间的平面，该平面上的材料沿梁轴线方向既无伸长也无缩短。 梁理论的假定 最简单和常见的棱柱形截面直梁模型有： Bernoulli-Euler 梁理论 Timoshenko 梁理论 (经典梁理论) (工程梁理论) (考虑了横向剪应变,存在剪切闭锁问题(shear locking problem) 中性面与横截面之间的交线叫横截面的中性轴( neutral axis) 如果梁由单一材料构成，中性轴的位置仅由截面的几何形状决定。 单元坐标系统(Element Coordinate Systems) 中性轴 横截面 对称面 2. 横截面是不变的或者光滑变化的。 3. 垂直于梁轴线的横截面在梁弯曲后仍然垂直于