第五章线性网络的信号流图分析法.pptVIP

第五章 线性网络的信号流图分析法 本章的主要内容： 信号流图 信号流图的变换规则 Mason公式 线性网络的SFG分析 状态转移图 导言 信号流图是表示线性代数方程组的一种加权有向图，它是图论应用的一个重要分支。 信号流图分析法具有直观、灵活、简便的优点，它是分析线性系统的一个有效工具，不但应用于对电网络进行分析，还在自动控制、机械、化工等工程领域得到应用。 § 5-1 信号流图 基本概念：信号流图是一种表示线性代数方程组变量关系的加权有向图，它由节点和联接在节点之间的有向支路构成。 例如:在节点x、y之间有传输值为a的一条支路，箭头指向节点y，如图5-1所示。该信号流图所对应的方程是 y=ax 如果节点 有两条或两条以上的入支路，其对应方程为 （入支路传输值×该入支路起始处的节点变量），其中求和是对节点 的所有入支路进行的。若节点 有两条或两条以上的支路，则信号（ ）要沿节点 的每一条出支路传输。 一个含n个变量的线性代数方程 可用以下方法写成以 为输出量的因果形式方程 通过移项也能得到因果形式的方程，即 SFG和代数方程间的对应关系 设线性代数方程为 其对应的SFG如图5-2所示 对于代表线性代数方程组的向量方程： AX=BF (其中A为n×n矩阵，B为n×p矩阵，X为n维变量向量，F为p维输入向量)可以改写为以下因果形式的方程： 定义联接矩阵： 则式（5-1-9）可表示为 联接矩阵C是一个n×(n+p)增广矩阵，它描述了图的关联性质和支路的权值。C矩阵的每一行对应于一个作为果的变量；每一列对应于一个作为因的变量。它的元素 为零时表示节点j与节点i间没有支路；元素 非零时表示节点j至节点i间有一条权值为 的有向支路。 § 5-2 信号流图的变换规则 同方向并联支路简化规则 如图5-8（a）所示。其对应方程为 将上式改写为 与式（5-2-2）相对应的SFG如图5-8（b）所示。由此可知，n条同方向并联支路可用一条支路代替，该支路的传输值等于n条并联支路传输值之和。 同方向级联支路简化规则 同方向级联支路是指从节点x0出发连续经过n条同方向的支路而至节点xn,其中经过的节点x1,x2,…，xn-1都只有一条入支路和一条出支路，如图5-9（a）所示。其对应方程为 以上方程组可合并为 与上式相对应得SFG如图5-9（b）所示。由此可知，n条同方向级联支路可用一条支路代替，该支路的传输值等于n条级联支路的支路传输值之积。 支路移动（节点消去）规则 为使SFG中的节点数减少，就要不断的消去节点，采用规则为支路移动规则，也称为节点消去规则。 在方程组（5-1-7）中，若要消去变量 x3，可将式（5-1-7）中第一方程代入第二个、第三个方程，得 与式（5-2-7）对应的SFG如图5-12所示。将图5-12 与图5-4相比较，可以看出，节点x3已被消去，支路发生移动。移动的规则为：为消去节点x3,使与x3相联的每一条入支路的始端不动，而其末端分别沿着每一条出支路做正向移动，移至该出支路的末端，形成3×2=6条新支路。每条新支路的传输值为被移动支路与沿其移动支路二支路传输值之积。如果被消节点有m条入支路、n条出支路，则支路移动后的新支路数为m×n。 自环消去规则 在绘制SFG和简化SFG的过程中，常有自环出现。在此情况下，必须消去自环，才能使SFG进一步化简。图5-16所示的SFG对应的线性方程组为 在式（5-2-8）的第一个式子中，等式两端均有x2，因而在SFG中出现自环，现将该式移项，得 对应于式（5-2-9）的SFG如图5-17所示，自环已消去。将上例中消去自环的方法推广到一般情形，可得消去自环的规则： 欲消去节点x0上传输值为a的自环，将与节点x0相联每条入支路传输值分别除以（1-a），同时去掉自环。消去自环对节点x0的各条出支路无影响。 倒向规则 （1）从源节点出发的支路可以倒向；不是源节点出发的单支路不能倒向。 （2）将两节点之间的支路倒向后，支路传输值为原支路传输值的倒数； （3）将原来终结在被倒向支路末端节点的其他支路全部改为终结在倒向后支路末端节点上，其传输值为原支路传输值乘以倒向支路传输值的负倒数。 § 5-3 Mason公式 Mason图增益公式（简称Mason公式）是求SFG图增益（传输值）的公式，它与用克莱姆法则求线性方程组解的方法相当。Mason公式直接根据SFG的结构给出传输值的解，应用更加方便。 Mason公式的基本概念 Mason公式 式中Δ为图行列式， Δ由下式确定： 式（5-3-2）中， 表示第k个一阶回路的传输值，求和 是对全部