18_3 几何应用.ppt

返回 后页 前页 在本节中所讨论的曲线和曲面, 由于它们 的方程是以隐函数(组)的形式出现的, 因此 在求它们的切线或切平面时, 都要用到隐函 数(组)的微分法. §3 几 何 应 用 一、平面曲线的切线与法线 二、空间曲线的切线与法平面 三、曲面的切平面与法线 一、平面曲线的切线与法线 曲线 L ： 条件： 上一点, 近旁, F 满足 隐函数定理条件, 可确定可微的隐函数: 处的切线： 总之, 当 例1 求笛卡儿叶形线 在点 处的切线与法线. 解 设 由§1 例 2 的讨 论 近旁满足隐函数定理 的条件. 容易算出 于是所求的切线与法线分别为 例2 用数学软件画出曲线 的图象；并求该曲线在点 处的 切线与法线. 解 在 MATLAB 指令窗内执行如下绘图指令: syms x,y; ezplot(x^2+y-sin(x*y),[-4,4],[-8,1]); 就立即得到曲线 L 的图象 (见本例末页). 令 容易求出: 由此得到 L 在点 处的切线与法线分别为： 若在上面的 MATLAB 指令窗里继续输入如下指 令, 便可画出上述切线与法线的图象 (如图). hold on; a=(pi)^(1/3); b=a^2; ezplot((2*a-b)*(x-a)+(1+a)*(y+b)); ezplot((1+a)*(x-a)-(2*a-b)*(y+b)) 例3 设一般二次曲线为 试证 L 在点 处的切线方程为 证 由此得到所求切线为 利用 满足曲线 L 的方程, 即 整理后便得到 二、空间曲线的切线与法平面 先从参数方程表示的曲线开始讨论. 在第五章§3 已学过, 对于平面曲线 若 是其上一点, 则曲线 在点 处的切线为 下面讨论空间曲线. (A) 用参数方程表示的空间曲线: 类似于平面曲线的情形, 不难求得 处的切线为 过点 且垂直于切线 的平面 , 称为曲线 L 在点 处的法平面 . 因为切线 的方向向量即为 法平面 的法向量, 所以法 平面的方程为 (B) 用直角坐标方程表示的空间曲线： 设 近旁具有连续的 一阶偏导数, 且 不妨设 于是存在隐函数组 这也就是曲线 L 以 z 作为参数的一个参数方程. 根据公式 (2), 所求切线方程为 应用隐函数组求导公式, 有 于是最后求得切线方程为 相应于 (3) 式的法平面方程则为 例 4 求空间曲线