2011年全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准.docVIP

2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数. 第一试 一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．已知，，则的值为 （ ） A．1. B．. C．. D．. 【答】B. 由可得， 即， 即，即，所以． 2．已知△的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为 （ ） A． B．C．D．的面积为S，所求的第三条高线的长为h，则三边长分别为．显然，于是由三边关系，得 解得． 所以的最大整数值为6,即第三条高线的长的最大值为6. 3．方程的解的个数为 （ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答】C. 当时，方程为，即，解得，，均满足． 当时，方程为，即，解得，满足． 综上，原方程有3个解． .4．今有长度分别为1，2，…，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有 （ ） A．5组. B．7组. C．9组. D．11组. 【答】C. 显然用这些线段去拼接成正方形，至少要7条．当用7条线段去拼接成正方形时，有3条边每边都用2条线段连接，而另一条边只用1条线段，其长度恰好等于其它3条边中每两条线段的长度之和．当用8条线段去拼接成正方形时，则每边用两条线段相接，其长度和相等． 又因为，所以正方形的边长不大于．由于 ； ； ； ； ． 所以，组成边长为7、8、10、11的正方形，各有一种方法；组成边长为9的正方形，有5种方法。 故满足条件的“线段组”的组数为1×4＋5＝9． 5．如图，菱形ABCD中，，，，，，则 （ ） A．. B．. C．. D．. 【答】 D. 过F作AB的垂线，垂足为H．∵，， ∴，，， 又∵， ∴， 从而△FHE是等腰直角三角形，所以HE＝FH＝， ∴ ． 6．已知，，，则的值为 （ ） A．1. B．. C．2. D．. 【答】C. 由已知等式得，，，所以． 于是，，，．所以 ，，，即。 代入，得，解得． 所以 ． 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1．在△ABC中，已知，，则 ． 【答】 。 延长AB到D，使BD＝BC，连线段CD，则，所以CA＝CD。 作于点E，则E为AD的中点，故 ， . 在Rt△BCE中，，所以，故 ． 2．二次函数的图象的顶点为D，与x轴正方向从左至右依次交于A，B两点，与y轴正方向交于C点，若△ABD和△OBC均为等腰直角三角形（O为坐标原点），则 ． 【答】 2． 由已知，得，，，． 过D作于点E，，则，即，得， 所以或．又，所以． 又，即，得． 3．能使是完全平方数的正整数n的值为 ． 【答】 11. 当时，，若它是完全平方数，则n必为偶数． 若，则；若，则；若，则；若，则。所以，当时，都不是完全平方数． 当时，，若它是完全平方数，则为一奇数的平方。 设（k为自然数），则．由于和一奇一偶，所以，于是，故． 4．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，过点A作圆的切线与CD的延长线交于点F，如果，，D为EF的中点，则AB＝ ． 【答】 24. 设，则． 连AD，BC．因为AB为⊙O的直径，AF为⊙O的切线，所以． 又因为D为Rt△AEF的斜边EF的中点， ∴ ，∴ ， ∴ ，∴ ． 在Rt△AEF中，由勾股定理得 ，即 ． 设，由相交弦定理得 ，即， ∴ ① 又∵ ， ∴ ． 又，∴ ，从而． 在Rt△ACB中，由勾股定理得 ，即， ∴ ． ② 联立①②，解得