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Brouwer不动点定理的几种证明 学 院 名 称： 专 业 名 称： 学 生 姓 名： 指 导 教 师： 二○一一年五月 摘 要 Brouwer不动点定理是很著名的定理.其中，关于它的证明很多有：代数拓扑的证明、组合拓扑的证明、微分拓扑的证明等.都涉及拓扑学上许多复杂的概念和结果. 关于该定理，也可以用图论的方法证明，用离散离散理论解决连续系统中问题.本文试图在总结其他证明方法的基础上，对图论的方法证明Brouwer不动点定理进行详细的介绍来体现这一思想. 关键词：Brouwer；不动点. ABSTRACT Brouwer fixed point theorem is very famous theorem . Among them , about its proof many : algebra topologies, proof of the proof, differential combined topology etc. The proof of topological Involves many complex on the concept of limited and results. About this theorem, also can use graph method to prove, in a discrete discrete theory in solving continuous system. This article tries to summarize the other proof method based on the method of graph theory prove Brouwer fixed point theorem for detailed introduction to reflect this thought. Keywords: Brouwer; Fixed point.  目 录 第一章 引言 1 1.1 研究背景 1 1.2 本课题的研究内容 1 第二章 Brouwer不动点定理的证明 2 2.1 Brouwer不动点定理的图论证明 2 引理2.1.1（sperner，1982） 3 定理2.1.2 (Brouwer) 3 2.2 Brouwer不动点定理的初等证明 5 2.2.1 基本概念与引理 5 定理2.2.2.1(Banach不动点定理) 5 定理2.2.2.2(KKM定理) 5 2.2.3 Brouwer不动点定理的证明 7 定理2.2.3.2 (FKKM定理) 7 定理2.2.3.5(Brouwer不动点定理) 8 2.3 Brouwer不动点定理的J.Milnor分析证明 9 2.3.6 Brouwer不动点定理 18 参考文献 19 致 谢 20  第一章 引言 1.1 研究背景 Brouwer不动点定理是非线性分析和拓扑学中的重要基本定理，它的叙述简洁，应用广泛，但证明却很不简单.不论是代数拓扑的证明[1]，还是组合拓扑的证明[2]，以及微分拓扑的证明[3]，都涉及拓扑学上许多复杂的概念和结果.1978年著名的微分拓扑学家J.Milnor给出了一中新证明[4]，只用到多变量微分学的知识和某些基本分析定理.关于该定理，也可以用图论的方法证明，这种离散理论解决连续系统中问题的思想，对我们也给了很大的启示. 本文试图在总结其他证明方法的基础上，对图论的方法证明Brouwer不动点定理进行详细的介绍. 1.2 本课题的研究内容 整理Brouwer不动点定理的初等、图论方面的证明和J.Milnor给出的用多变量微分学和某些基本分析定理的新证明. 详细介绍Brouwer不动点定理的图论方法证明，体现离散理论解决连续系统中问题的思想. 第二章 Brouwer不动点定理的证明 2.1 Brouwer不动点定理的图论证明 Brouwer不动点定理：若表示平面上一个三角形区域围成的闭区域，是到自身的连续映射，则至少有一个不动点，即存在一点，使得. 首先把剖分成若干小三角形区域，即，的面积为零.把的三个顶点分别标志位0,1,2.每个的顶也用{0,1,2}中的数标志.若的顶在上的边上，且的这条边端点之标号为与，的顶也标成与，称这些标志位正常标志，在正常标志中小三角形的三顶分别标志0,1,2时，称为正常三角形，见图a.的这种标志的剖分称为三角剖分. 图 2.1 图 2.2 引理2.1.1（sperner，1982） 在的三角剖分中，正常三角形为奇数个. 证：记为的外部区域，是进行三角剖分得到