d2_3中值定理.ppt

第三节 一 、函数的极值 二 、微分中值定理 三、洛必达 法则 一、函数的极值 注意: 罗尔（ Rolle ）定理 若 M m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等, 例1. 证明方程 二、拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理的有限增量形式: 例2. 证明等式 例3. 证明不等式 三、柯西(Cauchy)中值定理 证: 作辅助函数 内容小结 一、 一、 推论1. 例1. 求 例2. 求 二、 例3. 求 例4. 求 说明: 3) 若 三、其他未定式: 例6. 求 例7. 求 例8. 求 例9. 求 内容小结 思考与练习 3. 4. 求 作业 洛必达(1661 – 1704) 备用题 思考与练习 2. 设 3. 若 4. 思考: 在 费马(1601 – 1665) 拉格朗日 (1736 – 1813) 柯西(1789 – 1857) 备用题 2. 分析: 为用洛必达法则 , 必须改求 法1 用洛必达法则 但对本题用此法计算很繁 ! 法2 ～ 原式 例3 目录 上页 下页 返回 结束 洛必达法则 令 取对数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 设 是未定式极限 , 如果 不存在 , 是否 的极限也不存在 ? 举例说明 . 极限 说明 目录 上页 下页 返回 结束 原式 ～ 分析: 分析: 原式 ～ ～ 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 解: 令 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 P137 1 (6)，(7)，(9)，(12)，(13)，(16), 4 第三节 目录 上页 下页 返回 结束 法国数学家, 他著有《无穷小分析》 (1696), 并在该书中提出了求未定式极 限的方法, 后人将其命名为“ 洛必达法 的摆线难题 , 以后又解出了伯努利提出的“ 最速降 线 ” 问题 , 在他去世后的1720 年出版了他的关于圆 锥曲线的书 . 则 ”. 他在15岁时就解决了帕斯卡提出 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求下列极限 : 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 令 则 原式 = 解: (用洛必达法则) (继续用洛必达法则) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 原式 = 第三节 目录 上页 下页 返回 结束 1. 填空题 1) 函数 在区间 [1, 2] 上满足拉格朗日定理 条件, 则中值 2) 设 有 个根 , 它们分别在区间 机动 目录 上页 下页 返回 结束 上. 方程 且在 内可导, 证明至少存 在一点 使 提示: 由结论可知, 只需证 即 验证 在 上满足罗尔定理条件. 设 机动 目录 上页 下页 返回 结束 可导, 试证在其两个零点间一定有 的零点. 提示: 设 欲证: 使 只要证 亦即 作辅助函数 验证 在 上满足 罗尔定理条件. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 即 当 时 问是否可由此得出 不能 ! 因为 是依赖于 x 的一个特殊的函数. 因此由上式得 表示 x 从右侧以任意方式趋于 0 . 应用拉格朗日中值定理得 上对函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 法国数学家, 他是一位律师, 数学 只是他的业余爱好. 他兴趣广泛, 博 览群书并善于思考, 在数学上有许多 重大贡献. 他特别爱好数论, 他提出 的费马大定理: 至今尚未得到普遍的证明. 他还是微积分学的先驱 , 费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中 提炼出来的. 法国数学家. 他在方程论, 解析函数论, 及数论方面都作出了重要的贡献, 近百 余年来, 数学中的许多成就都直接或间 接地溯源于他的工作, 他是对分析数学 产生全面影响的数学家之一. 法国数学家, 他对数学的贡献主要集中 在微积分学, 《柯 西全集》共有 27 卷. 其中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的《分析教程》, 《无穷小分析概论》, 《微积 分在几何上的应用》 等, 有思想有创建, 响广泛而深远 . 对数学的影 他是经典分析的奠人之一, 他为微积分 所奠定的基础推动了分析的发展. 复变函数和微分方程方面 . 一生发表论文800余篇, 著书 7 本 , 求证存在 使 1. 设 可导，且 在 连续， 证： 因此至少存在 显然 在 上满足罗尔定理条件, 即 设辅助函数 使得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * 中值定理 应用 研究函