第18讲排列、组合与二项定理.doc

第十八讲:排列、组合与二项式定理 1 第十八讲:排列、组合与二项式定理 杨老师专论 （电话号码：2078159；手机号码 排列、组合、二项式定理是研究古典概率的基础,也是组合数学的基础,在自主招生考试中占有比较重要的地位.自主招生考试中的排列、组合、二项式定理,与高考相比,则呈现出灵活与广泛的特性,与联赛比较则突现基础与单纯的特点. Ⅰ.知识拓展 1.计数方法: ①映射方法:当直接计算集合A的元素个数|A|较困难时,着意于寻找,或构造容易计算其个数的集合B,并设法建立一个A到B的一一映射f,由映射定理知|A|=|B|,这种思想方法就称为映射方法. ②不定方程:不定方程x1+x2+…+xn=m(n,m∈N+,n≥2,m≥n)正整数解的个数为Cm-1n-1,它与计数问题有紧密联系,利用该结论可解决一类计数问题. ③递推计数:利用递推思想解决计数问题的程序是:一是求初始值:a1,a2等;二是建立an与an-1,an-2等的关系式;三是求an. 2.组合等式: ①基本性质:Cnn-k=Cnk;kCnk=nCn-1k-1;Cn-1k-1+Cn-1k=Cnk;Cn0+Cn1+…+Cnn=2n;Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+Cn3+Cn5+…=2n-1;CnkCkm=Cn-mk-m; ②常用等式:Cnn+Cn+1n+Cn+2n+…+Cn+kn=Cn+k+1n+1;范德蒙等式:=Cn+mk; ③证明方法:性质法:利用组合数的上述基本性质;二项式定理法:通过对二项式展开式进行变形(求导,或积分),然后赋值(含复数);模型法:构造组合模型,并对某同一个计数问题利用两种方法计算. Ⅱ.归类分析 1.分类枚举: [例1]:(2008年复旦大学保送生考试试题)设A={a1,a2,a3}是由三个不同元素组成的集合,且T是A的子集族,满足性质:空集和A属于T,并且T中任何两个元的交集和并集还属于T,问所有可能的I的个数为( ) (A)29 (B)33 (C)43 (D)59 [解析]: [练习1]: 1.(2007年复旦大学保送生考试试题)三边均为整数,且最大边长为11的三角形共有( )个 (A)20 (B)26 (C)30 (D)36 2.①(2006年复旦大学保送生考试试题)对于一个四位数,其各位数字中至多有两个不相同,试求共有多少个这种四位数？ ②(2007年武汉大学保送生考试试题)一个口袋中装有大小相同的3个红球和2个白球,从袋中每次至少取一个球,共4次取完,那么不同的取球方式共有( ) (A)40种 (B)28种 (C)16种 (D)10种 2.分步计数: [例2]:(2007年复旦大学保送生考试试题)在集合{1,2,…,11}中任选两个数作为椭圆方程+=1中的a和b,则能组成落在矩形区域{(x,y)||x|11,|y|9内的椭圆个数是( ) (A)70 (B)72 (C)80 (D)88 [解析]: [练习2]: 2 第十八讲:排列、组合与二项式定理 1.①(2009年复旦大学保送生考试试题)设有n+1个颜色不同的球,放入n个不同的盆子中,要求每个盒子至少有一个球,则不同的放法有( )种. (A)(n+1)！ (B)n(n+1)！ (C)(n+1)！ (D)n(n+1)！ ②(2008年武汉大学保送生考试试题)7个人站在一排,如果甲必须站在正中间,并且乙、丙两人不站在两端,那么排法数为 . ③(2008年武汉大学保送生考试试题)某停车场内有序号为1、2、3、4、5的五个车位顺次排成一排,现在A、B、C、D四