第六章 时间序列分析模.doc

第六章 时间序列分析模型 学习目标： ●熟悉随机过程及时间序列的概念与分类 ●掌握ARIMA(p,d,q)(（P,D,Q）S模型的识别、参数估计、诊断与预测方法 ●掌握如何识别时间序列的单整、协整检验以及误差修正模型的建立 ●掌握基于VAR模型分析的因果检验、脉冲响应分析、方差分解、协整检验与误差修正模型的建立 第一节 ARMA模型中的基本概念 一、随机过程与时间序列 (一) 随机过程 随机过程是以时间为标号的一组随机变量，其中为样本空间，而表示时间指标集合。显然对于固定的，就是一个随机变量，对于固定的，是时间的函数，称为样本的函数或实现，所有可能的实现构成了时间序列。实际上，由于时间的不可逆性，在实践中，一般只能得到一个样本，我们就是在适当的假设下，利用这个样本进行分析，也就是进行时间序列分析。 随机过程可以按照其两个维度是离散还是连续进行分类，如果时间是连续的，则称为连续型随机过程，如果取整数集合，则随机过程为离散型的。如果的取值是连续的，则随机过程是连续的，若的取值是离散的，则随机过程是离散型的。本章主要讨论为离散型的随机过程，同时把随机过程简记为或者。 随机过程的概率结构通常被其联合分布所决定，称为维联合分布，定义其均值函数、方差函数和协方差函数如下： 显然，这几个矩都是时间的函数，因而是未知的，如果不加以限制，则这样的参数就非常多，然而对每个固定时刻，我们只能得到一个实现值，因此必须对随机过程进行某种限制，例如假设其为平稳的随机过程或者为近似独立过程等。 (二) 平稳随机过程 一个随机过程被称为严平稳过程，如果其联合分布满足： 由于严平稳采用了联合分布来定义，在实践中很难进行验证。另一种是从矩角度定义的弱平稳（宽平稳）过程，若均值函数、方差函数和协方差函数满足： 即期望和方差与时间无关，而协方差只与时间间隔有关，弱平稳过程也称为二阶矩平稳过程。 显然严平稳与弱平稳过程既有区别也有联系，如果严平稳过程具备上述矩条件，则也为宽平稳过程，而宽平稳过程一般不是严平稳过程弱。如果该过程的服从高斯分布时，严平稳过程与宽平稳过程等价。 例6-1 白噪声过程(white noise)，若随机过程满足： ，， 该过程称为白噪声过程，记为。显然该过程是零均值等方差且不相关的过程。如果进一步假设有，则为独立白噪声过程。特别地，如果假设，则该过程不但为宽平稳过程也是严平稳过程。 例6-2 随机游走过程(random walk)，若随机过程满足： 其中为白噪声过程。显然我们有： ，， 显然，随机游走过程不满足弱平稳条件，因此是非宽平稳过程。在接下来的分析中，我们只对弱平稳过程进行分析。 二、理论自协方差、自相关函数与偏自相关函数 （一）自协方差与自相关函数 对于一个平稳过程来说，由于其协方差满足条件： 由于是随机变量与其自身滞后期的协方差，因此也称为自协方差。同时该自协方差是时间间隔的函数，因此也称为自协方差函数。定义自相关函数为： 显然有，从而有，。因此我们通常只给出对应的自协方差函数和自相关函数即可。在以后的分析中，我们通常将自协方差或自相关函数排成一个矩阵形式，例如以自相关函数为例有： 该矩阵为对称半正定的。 （二）偏自相关函数 上述的是度量随机变量与之间的相关程度，这种相关度量可能并不是“纯净的”，因为它可能受到随机变量的影响，我们需要消除这些随机变量的影响，由此计算的相关系数称为随机变量之间的偏自相关函数，记为。不失一般性，假设平稳过程的期望为0，可以证明，即为下列回归模型： 中的回归系数。为了得到该回归系数，两边同乘以并取期望，然后再除以得到： （6.1.1） 称此方程组为Yule-Walker方程，利用克莱姆法则有： 例6-3 求白噪声过程的自协方差函数、自相关函数与偏自相关函数。 根据白噪声的构成，显然有，因此有，从而有。 三、样本自协方差、自相关函数与偏自相关函数 （一）样本自协方差、自相关函数 上述的自协方差、自相关函数以及偏自相关函数一般是未知的，需要通过样本来估计，假设我们有一个样本为，为此定义如下几个估计量： 样本均值： （6.1.2） 样本自协方差函数： （6.1.3） 或者 （6.1.4） 样本自相关函数： （6.1.5） 在后面的模型诊断中，我们经常需要检验理论自相关函数是否在某个阶如以后是否为零，或者检验拟合后的残差是否为白噪声过程，也就是要检验理论自相关函数是否为零，这需要通过样本自相关函数来进行，Bartlett(1964)证明，当样本容量较大时，近似服从，若认为理论自相关函数在阶以后有，则有，，其中，实际计算中需要使用各个理论自相关函数的样本对应值进行替代。特别地