二项式定理常见题型(老师用).doc

二项式定理 1．二项式定理： ， 2．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数. ③项数：共项，是关于与的齐次多项式 ④通项：展开式中的第项叫做二项式展开式的通项。用表示。 3．注意关键点： ①项数：展开式中总共有项。 ②顺序：注意正确选择,,其顺序不能更改。与是不同的。 ③指数：的指数从逐项减到，是降幂排列。的指数从逐项增到，是升幂排列。各项的次数和等于. ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是项的系数是与的系数（包括二项式系数）。 4．常用的结论： 令 令 5．性质： ①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即，··· ②二项式系数和：令,则二项式系数的和为， 变形式。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和： 在二项式定理中，令，则， 从而得到： ④奇数项的系数和与偶数项的系数和： ⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数是偶数时，则中间一项的二项式系数取得最大值。 如果二项式的幂指数是奇数时，则中间两项的二项式系数,同时取得最大值。 ⑥系数的最大项：求展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别 为，设第项系数最大，应有，从而解出来。 6．二项式定理的十一种考题的解法： 【题型一：二项式定理的逆用】 【例1】： 解：与已知的有一些差距， 【练1】： 解：设，则 【题型二：利用通项公式求的系数】 【例2】：在二项式的展开式中倒数第项的系数为，求含有的项的系数？ 解：由条件知，即，，解得，由 ，由题意， 则含有的项是第项,系数为。 【练2】：求展开式中的系数？ 解：，令,则 故的系数为。 【题型三：利用通项公式求常数项】 【例3】：求二项式的展开式中的常数项？ 解：，令，得，所以 【练3】：求二项式的展开式中的常数项？ 解：，令，得，所以 【练4】：若的二项展开式中第项为常数项，则 解：，令，得. 【题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项】 【例4】：求二项式展开式中的有理项？ 解：，令,()得， 所以当时，，， 当时，，。 【题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和】 【例5】：若展开式中偶数项系数和为，求. 解：设展开式中各项系数依次设为 ,则有①，,则有② 将①-②得： 有题意得，，。 【练5】：若的展开式中，所有的奇数项的系数和为，求它的中间项。 解：，，解得 所以中间两个项分别为，， 【题型六：最大系数，最大项】 【例6】：已知，若展开式中第项，第项与第项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？ 解：解出，当时，展开式中二项式系数最大的项是，当时，展开式中二项式系数最大的项是，。 【练6】：在的展开式中，二项式系数最大的项是多少？ 解：二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大，即，也就是第项。 【练7】：在的展开式中，只有第项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？ 解：只有第项的二项式最大，则，即,所以展开式中常数项为第七项等于 【例7】：写出在的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？ 解：因为二项式的幂指数是奇数，所以中间两项()的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有的系数最小，系数最大。 【例8】：若展开式前三项的二项式系数和等于，求的展开式中系数最大的项？ 解：由解出,假设项最大， ，化简得到，又，，展开式中系数最大的项为,有 【练8】：在的展开式中系数最大的项是多少？ 解：假设项最大， ，化简得到，又，，展开式中系数最大的项为 【题型七：含有三项变两项】 【例9】：求当的展开式中的一次项的系数？ 解法①：，，当且仅当时，的展开式中才有x的一次项，此时，所以得一次项为 它的系数为。 解法②： 故展开式中含的项为，故展开式中的系数为240. 【练9】：求式子的常数项？ 解：，设第项为常数项，则，得,, . 【题型八：两个二项式相乘】 【例10】： 解： . 【练10】： 解： . 【练11】： 解： 【题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和】 【例11】： 解： 【题型十：赋值法】 【例12】：设二项式的展开式的各项系数的和为，所有二项式系数的和为,若 ,则等于多少？ 解：若，有，， 令得，又,即解得，. 【练12】：若的展开式中各项系数之和为，则展开式的常数项为多少？ 解：令，则的展开式中各项系数之和为，所以，则展开式的常数项为. 【例13】： 解： 【练13】： 解： 【题型十一：整除性】 【例14】：证明：能被64整除 证： 由于各项均能被64整除 以上是二项式定理应用的十一种典