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模糊集的区间值的分解定理 模糊集的区间值的分解定理 摘要 针对区间值模糊集合，给出了8种截集的概念，讨论了其有关性质，并给出关于区间值模糊集合的分解定理。 关键词 区间值模糊集合； 截集； 分解定理 在许多应用领域中，尤其是在决策、评价等过程，由于对发展中的事物的认识很难把握其本质，于是人人往往对需要进行的决策属性采取区间即区间数而非单个数值来进行表示，以减少决策信息的波动性、不确定性。推而广之，自1965年Zadeh教授提出模糊集合的概念以来，学者们就开始探讨区间值模糊集合的概念。其后许多学着纷纷将区间模糊值集合运用于近似推理、信号传输及模糊控制等领域。近年来，对区间值模糊集合的研究兴趣与日俱增，其原因是在实际应用中，一个模糊集合的隶属制度往往不易确定，而区间值隶属度相对而言较易确定。然而，其基本理论还相当薄弱，使得区间值模糊集合的进一步应用受到了一定程度的限制。本文给出了关于区间值模糊集合的分解定理的一些结论。 预备知识 定义1 称中闭区间为上的区间数，上的全体区间数记为. 于是，我们可以将中的逻辑运算，按照扩展原理，将它们扩展到上，，，，，。 显然是完全的且可无限分配的，并且在中的格运算可导出偏序： 或 令。显然，，则是稠密的。因此构成优软代数。 定义2 给出映射: , =[,] . 我们说确定的一个区间值模糊子集，称为的隶属函数，称为对区间值模糊集合的隶属度。分别称,为区间值模糊集合上、下隶属度（隶属数），所确定的模糊集合,分别称为区间值模糊集合上、下模糊集合。 上区间值模糊集合的全体记为，称为区间值普通集合。 定义3 设，定义运算，，如下： ，，。 我们分别称，，为区间值模糊集合的并集、交集和余集。并且区间值模糊集合的并、交运算还可以推广到任意多个区间值模糊集合上，与的隶属函数可以分别定义为： ， 定义4 设，规定： 引理1 ，，。 证 ， 所以是优软代数。 2、 截集 对应于点值集模糊集合的截集的定义，我们可以给出区间值模糊集合的截集概念。 定义5 （共八种截集）对于规定： ， ， ， ， ， ， ， . 称为区间值模糊集合的第种-（双值）截集。特别的，当时，记为区间值模糊集合的第种-单值截集，于是又如下性质： 性质1 ； . 其中，；，.. 性质2 ；； ；. 性质3 ，，有，。 性质4 ： ,,,. 3、 分解定理 分解定理是模糊数学的基本定理之一，它提供用区间值普通集合来构造区间值模糊集合的可能性。因此，我们首先引进区间数与区间值模糊集合的两种运算。 定义6 对于,,我们规定，，它们的隶属函数为： ， 。 显然有： （1）， （2）， 分解定理1 对于，， 证明：= == = 所以定理得证 分解定理2对于，， 则有，= 分解定理1设，且，即： 分解定理2 设，且，即： 由上面的分解定理可知下面的分解定理3，3，4，,4也是成立的。 分解定理3 设，如果有，则 分解定理4 设，如果有，则 分解定理3 设，且，即，如果有，则 分解定理4 设，且，即，如果有，则 显然如上满足分解定理3，4的区间值模糊集合也适用于： ，， ，， ，。 且有如下性质。 性质5 ： （a），. （b） 证明 由于，时有： . 另外，一方面由于时，有所以 于是。 另一方面由于时，有：， 所以 于是 性质6 : (a), . (b) 证 由于，时，有 另外，一方面由于时，，所以， 另一方面由于时， ， 所以 性质7 : (a), . (b) 性质8 : (a), . (b) 性质9 : (a), . (b) 性质10 : (a), . (b) 性质11 : (a), . (b) 性质12 : (a), . (b) 性质13 : (a), . (b) 性质14 : (a), . (b) 4、 参考文献 [1] 罗承恩 模糊集引论[M].北京：北师大出版社，1989 [2] 曾文艺 一种新的表现定理的刻画方法[J]，北京师范大学学报（自然科学版），2003,39（1）：34 [3] 李洪兴，汪培庄 模糊数学[M] 北京：国防工业出版社，1994 [4] 曾文艺 模糊数的排序方法[J] 北京师范大学学报（自然科学版），2001,37（6）：711 [5] 孟广武 区间值Fuzzy集的基本理论[J] 应用数学，1993,6:212 [6] 杨伦标，高英仪 模糊数学原理及应用 广州：华南理工大学出版社，1998 2