高数中需要掌握证明过程的定理(一).doc

高数中的重要定理与公式及其证明（一） 考研数学中最让考生头疼的当属证明题，而征服证明题的第一关就是教材上种类繁多的定理证明。如果本着严谨的对待数学的态度，一切定理的推导过程都是应该掌握的。但考研数学毕竟不是数学系的考试，很多时候要求没有那么高。而有些定理的证明又过于复杂，硬要要求自己掌握的话很多时候可能是又费时又费力，最后还弄得自己一头雾水。因此，在这方面可以有所取舍。 应深受大家敬佩的静水深流力邀，也为了方便各位师弟师妹复习，不才凭借自己对考研数学的一点了解，总结了高数上册中需要掌握证明过程的公式定理。这些证明过程，或是直接的考点，或是蕴含了重要的解题思想方法，从长远来看都是应当熟练掌握的。 由于水平有限，总结不是很全面，但大家在复习之初，先掌握这些公式定理证明过程是必要的。 1）常用的极限 ，，，， 【点评】：这几个公式大家在计算极限的过程中都再熟悉不过了，但有没有人想过它们的由来呢？事实上，这几个公式都是两个重要极限与的推论，它们的推导过程中也蕴含了计算极限中一些很基本的方法技巧。 证明： ：由极限两边同时取对数即得。 ：在等式中，令，则。由于极限过程是，此时也有，因此有。极限的值与取极限的符号是无关的，因此我们可以吧式中的换成，再取倒数即得。 ：利用对数恒等式得，再利用第二个极限可得。因此有。 ：利用对数恒等式得 上式中同时用到了第一个和第二个极限。 ：利用倍角公式得。 2）导数与微分的四则运算法则 【点评】：这几个求导公式大家用得也很多，它们的证明需要用到导数的定义。而导数的证明也恰恰是很多考生的薄弱点，通过这几个公式可以强化相关的概念，避免到复习后期成为自己的知识漏洞。具体的证明过程教材上有，这里就不赘述了。 3）链式法则 设，如果在处可导，且在对应的处可导，则复合函数在处可导可导，且有： 【点评】：同上。 4）反函数求导法则 设函数在点的某领域内连续，在点处可导且，并令其反函数为，且所对应的的值为，则有： 【点评】：同上。 5）常见函数的导数 ， ，， ，， ， 【点评】：这些求导公式大家都很熟悉，但很少有人想过它们的由来。实际上，掌握这几个公式的证明过程，不但可以帮助我们强化导数的定义这个薄弱点，对极限的计算也是很好的练习。现选取其中典型予以证明。 证明： ：导数的定义是，代入该公式得 。最后一步用到了极限。注意，这里的推导过程仅适用于的情形。的情形需要另行推导，这种情况很简单，留给大家。 ：利用导数定义，由和差化积公式得。的证明类似。 ：利用导数定义。的证明类似（利用换底公式）。 ：利用导数定义。的证明类似（利用对数恒等式）。 6）定积分比较定理 如果在区间上恒有，则有 推论：ⅰ如果在区间上恒有，则有； ⅱ设是函数在区间上的最大值与最小值，则有： 【点评】：定积分比较定理在解题时应用比较广，定积分中值定理也是它的推论。掌握其证明过程，对理解及应用该定理很有帮助。具体的证明过程教材上有。 7）定积分中值定理 设函数在区间上连续，则在积分区间上至少存在一点使得下式成立： 【点评】：微积分的两大中值定理之一，定积分比较定理和闭区间上连续函数的推论，在证明题中有重要的作用。考研真题中更是有直接用到该定理证明方法的题目，重要性不严而喻。具体证明过程见教材。 8）变上限积分求导定理 如果函数在区间上连续，则积分上限的函数在上可导，并且它的导数是 设函数，则有。 【点评】：不说了，考试直接就考过该定理的证明。具体证明过程见教材。 9）牛顿-莱布尼兹公式 如果函数在区间上连续，则有，其中是的原函数。 【点评】：微积分中最核心的定理，计算定积分的基础，变上限积分求导定理的推论。具体证明过程见教材。 10）费马引理： 设函数在点的某领域内有定义，并且在处可导，如果对任意的，有，那么 【点评】：费马引理是罗尔定理的基础，其证明过程中用到了极限的保号性，是很重要的思想方法。具体证明过程见教材。 11）罗尔定理： 如果函数满足 （1）在闭区间上连续； （2）在开区间上可导 （3）在区间端点处的函数值相等，即 那么在内至少存在一点，使得。 【点评】：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理是一脉相承的三大定理；它们从形式上看是由特殊到一般，后面的定理包含前面的定理，但实际上却是相互蕴含，可以相互推导的。这几个定理的证明方法也就是与中值有关的证明题主要的证明方法。中值定理的证明是高数中的难点，一定要多加注意。具体证明过程见教材。 12）拉格朗日中值定理： 如果函数满足 （1）在闭区间上连续； （2）在开区间上可导 那么在内至少存在一点，使得。 【点评】：同上。 13）柯西中值定理： 如果函数和满足 （1）在闭区间上连续； （2）在开区间上可导 那么在内至少存在一点，使得。 【点评】：同上。 14）单调性定理： 设函数在上连续