高中数学圆的定理【更多资料关注微博@高中学习资料库 】.doc

几何 1.九点圆; 定义：三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点（连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点）九点共圆。通常称这个圆为九点圆，或欧拉圆、费尔巴哈圆. 九点圆是一个更一般的定理：垂心四面体12点共球（各棱的中点，各棱相对于对棱的垂心）的一个特例。当一个顶点被压入所对面的时候，12点的共球就退化为9点共圆。 证明： 如下图所示，△ABC的BC边垂足为D，BC边中点为L。证法为以垂心H为位似中心，1/2为位似比作位似变换。 连结HL并延长至L，使LL=HL；做H关于BC的对称点D。 显然，∠BHC=∠FHE=180°-∠A，所以∠BDC=∠BHC=180°-∠A，从而A，B，D，C四点共圆。 　　又因为BC和HL互相平分于L，所以四边形BLCH为平行四边形。故∠BLC=∠BHC=180°-∠A，从而A，B，L，C四点共圆。 　　综上，A，B，C，D，L五点共圆。显然，对于另外两边AB，AC边上的F，N，E，M也有同样的结论成立，故A，B，C，D，L，F，N，E，M九点共圆。此圆即△ABC的外接圆⊙O。 　　接下来做位似变换，做法是所有的点（⊙O上的九个点和点O本身）都以H为位似中心进行位似比为1/2的位似变换。那么，L变到了L（因为HL=2HL），D变到了D（因为D是H关于BC的对称点），B变到了Q，C变到了R（即垂心与顶点连线的中点）。其它各点也类似变换。O点变成了OH中点V。 　　位似变换将圆仍映射为圆（容易用向量证明 什么为向量？），因此原来在⊙O上的九个点变成了在⊙V上的九个点，且⊙V的半径是⊙O的一半。 这就证明了三角形三边的中点，三高的垂足和三个欧拉点都在一个圆上。 九点圆具有许多有趣的性质，例如： 　　1. 三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半； 　　2. 九点圆的圆心在欧拉线上，且恰为垂心与外心连线的中点； 　　3. 三角形的九点圆与三角形的内切圆，三个旁切圆均相切（费尔巴哈定理）； 　　4. 九点圆是一个垂心组（即一个三角形三个顶点和它的垂心，共四个点，每个点都是其它三点组成的三角形的垂心，共4个三角形）共有的九点圆，所以九点圆共与四个内切圆、十二个旁切圆相切。 　　5. 九点圆心(V)，重心(G)，垂心(H)，外心(O)四点共线，且HG=2OG，OG=2VG，OH=2OV。 　　九点圆圆心的重心坐标的计算跟垂心、外心一样麻烦。 　　设d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘，并令c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。 那么重心坐标为：( (2c1+c2+c3)/4c，(2c2+c1+c3)/4c，(2c3+c1+c2)/4c )。 （右图为5.的图） 2.欧拉线：： 定义： 三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线，且外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半。 欧拉线的证法1: 作△ABC的外接圆，连结并延长BO，交外接圆于点D。连结AD、CD、AH、CH、OH。作中线AM，设AM交OH于点G’ 　　∵ BD是直径 　　∴ ∠BAD、∠BCD是直角 　　∴ AD⊥AB，DC⊥BC ∵ CH⊥AB，AH⊥BC 　　∴ DA‖CH，DC‖AH 　　∴ 四边形ADCH是平行四边形 　　∴ AH=DC 　　∵ M是BC的中点，O是BD的中点 　　∴ OM= 1/2DC 　　∴ OM= 1/2AH 　　∵OM‖AH 　　∴△OMG’ ∽△HAG’ 　　∴AG’/MG’=AH/MO=2/1 　　∴ G’是△ABC的重心 　　∴ G与G’重合 ∴ O、G、H三点在同一条直线上　 连接AG并延长交BC于D, 则可知D为BC中点。连接AG并延长交BC于D, 则可知D为BC中点。 连接OD ，又因为O为外心，所以OD⊥BC。连接AH并延长交BC于E,因H为垂心,所以 AE⊥BC。所以OD//AE，有∠ODA=∠EAD。由于G为重心，则GA:GD=2:1。 连接CG并延长交BA于F,则可知F为AB中点。同理，OF//CM.所以有∠OFC=∠MCF 连接FD，有FD平行AC,且有DF:AC=1:2。FD平行AC，所以∠DFC=∠FCA，∠FDA=∠CAD，又∠OFC=∠MCF，∠ODA=∠EAD，相减可得∠OFD=∠HCA,∠ODF=∠EAC,所以有△OFD∽△HCA,所以OD:HA=DF:AC=1:2；又GA:GD=2:1所以OD:HA=GA:GD=2:1 又∠ODA=∠EAD，所以△OGD∽△HGA。所以∠OGD=∠AGH,又连接AG并延长，所以∠AGH+∠DGH=180°,所以∠OGD