关于中值定理文档.docVIP

一. 设函数f(x)在闭区间[0, 1]上可微, 对于[0, 1]上每一个x, 函数f(x)的值都在开区间(0, 1)内, 且, 证明: 在(0, 1)内有且仅有一个x, 使f(x) = x. 证明: 由条件知0 f(x) 1. 令F(x) = f (x)－x, 于是F(0) 0, F(1) 0, 所以存在( ( (0, 1), 使F(() = 0. 假设存在(1, (2 ( (0, 1), 不妨假设(2 (1, 满足f((1) = (1, f((2) = (2. 于是 (1－(2 = f((1)－f((2) = . ((2 ( (1). 所以, 矛盾. 二. 设函数f(x)在[0, 1]上连续, (0, 1)内可导, 且. 证明: 在(0, 1)内存在一个(, 使. 证明: , 其中(1满足. 由罗尔定理, 存在(, 满足0 ( (1, 且 . 三．设函数f(x)在[1, 2]上有二阶导数, 且f(1) = f(2) = 0, 又F(x) =(x－1)2f(x), 证明: 在(1, 2)内至少存在一个(, 使 . 证明: 由于F(1) = F(2) = 0, 所以存在(1, 1 (1 2, 满足. 所以.所以存在(, 满足1 ( (1, 且 . 四. 设f(x)在[0, x](x 0)上连续, 在(0, x)内可导, 且f(0) = 0, 试证: 在(0, x)内存在一个(, 使 . 证明: 令F(t) = f(t), G(t) = ln(1+t), 在[0, x]上使用柯西定理 , ( ( (0, x) 所以 , 即. 五. 设f(x)在[a, b]上可导, 且ab 0, 试证: 存在一个( ( (a, b), 使 证明: 不妨假设a 0, b 0. 令. 在[a, b]上使用拉格朗日定理 六. 设函数f(x), g(x), h(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 证明:存在一个( ( (a, b), 使 证明: 令, 则F(a) = F(b) = 0, 所以存在一个( ( (a, b), 使 七. 设函数f(x)在[0, 1]上二阶可导, 且f(0) = f(1) = 0, 试证: 至少存在一个( ( (0, 1), 使 证明: (, 二边积分可得, 所以) 令 . 由f(0) = f(1) = 0知存在( ( (0, 1), . 所以F(() = F(1) = 0, 所以存在 ( ( ((, 1), . 立即可得 八. 设f(x)在[x1, x2]上二阶可导, 且0 x1 x2, 证明:在(x1, x2)内至少存在一个(, 使 证明: 令, 在[x1, x2]上使用柯西定理. 在(x1, x2)内至少存在一个(, 满足 . 九. 若0x1x2 , 证明: 存在一个( ( (x1, x2), 使 证明: 不妨假设0 x1 x2. 令, 在[x1, x2]上使用柯西定理. 在(x1, x2)内至少存在一个(, 满足 立即可得 . 十. 设f(x), g(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 且f(a) = f(b) = 0, g(x) ( 0, 试证: 至少存在一个( ( (a, b), 使 证明: 令, 所以F(a) = F(b) = 0. 由罗尔定理至少存在一个( ( (a, b), 使 , 于是 . 7．设，求． 解： ，对于积分，作变换，则有 所以， 因此， 9．设的原函数，且；当时，有 ． 试求． 解： 另一方面， 所以， 由，代入上式，得．所以 ， 因此， 所以， ．