几何非线性有限元分析课件1.doc

几何非线性有限元分析 8.1 大变形条件下的应变和应力度量 一．应变度量 结构的初始构型： P：， Q： t时刻的构型： P’：， Q’： 两种构型下的坐标可相互转化： * 拉各朗日（Lagrange）描述 基于变形前的构型表述变形后的构型。以变形前的各点坐标为基本未知数，描述各个量。 * 欧拉（Eular）描述 基于变形后的构型表述变形前的构型。以变形后的各点坐标为基本未知数，描述各个量。 根据以上变换： ， 定义： ， PQ线段的长度： P’Q’变形后的长度： , Green-Lagrange 应变（Green应变） , Almansi 应变 定义位移向量： ， 在小应变情况下： 工程应变 一．应力度量 欧拉应力张量（Green应力张量）： 表示变形后的构型的三个坐标面上的应力构成的张量。是对称张量 变形后表面上的应力：， 变形前的应力： 需要确定变形前、后的相应面上的力之间的关系。两种确定方法： Lagrange规定： Kirchhoff规定： 与坐标变换规律相同： ， ：第一类Piola-Kirchhoff应力（Lagrange应力张量），非对称 ， ：第二类Piola-Kirchhoff应力。Kirchhoff应力张量，对称 各种应力张量之间的关系： （1）由质量守恒： （2）， （3）， （4） 注意：是非对称张量，是对称张量。 8.2 几何非线性问题的表达格式 几何非线性问题的有限元分析，通常采用增量分析的方法。 考虑直角坐标系内的物体，增量分析的目的是：确定物体在一系列时间点，，处于平衡状态的位移，速度，应变和应力。 一．虚位移原理（虚功原理） ：描述初始时刻的物体内各点坐标。 ：描述时刻t的物体内各点坐标。 ：描述时刻的物体内各点坐标。 ， 从t到的位移增量： 在时刻应用虚功原理： 增量法的求解的基本思想是：t意见时刻的相应是已知的，时刻的相应未知（待求）。由两种方法： （1）完全Lagrange格式（T.L. 格式：Total Lagrange Formulation） 以初始时刻的构型为参考构型。 （2）更新Lagrange格式（U.L. 格式：Updated Lagrange Formulation） 以t时刻的构型为参考构型。 二．完全Lagrange格式 单位初始表面上的等效荷载（面力）： 单位初始质量上的等效荷载（体力）： 如果荷载不随变形变化（保守力）： 由质量守恒，可知： 应力： 因此，虚功原理可表示成： 为了便于求解：将应力和应变分解成： 从t到时刻引起的应力增量 从t到时刻引起的应变增量 将应变增量进一步分解： 虚功原理可进一步写成： T时刻的应力相当于初应力。可转化成等效荷载体现在方程中。 更新的Lagrange格式 更新的Lagrange格式的表达式，与完全Lagrange格式类似。所不同的是，参考构型是t时刻的构型。表达式中的0指标改成t，即可获得更形的Lagrange格式的表达式。 （略） 平衡方程的线性化 物理方程的线性化： 对于弹性材料，该关系式准确的。如果是小变形，则有 材料的弹性常数张量。 求解格式的进一步线性化： 带入虚功方程， 可获得用位移和应变表示的虚功方程： 21