实数基本定理.doc

实数基本定理的等价性 摘要：本文是从确界原理出发证明了单调有界定理，再用单调有界定理证明闭区间套定理，用闭区间套定理证明有限覆盖定理，用有限覆盖定理证明致密性定理，用致密性定理证明Cauchy收敛准则，用Cauchy收敛准则证明闭区间套定理，又用闭区间套定理证明了确界原理即证明出实数基本定理的等价性． 关键词：确界、收敛、闭区间、覆盖． 下面我将给出实数的基本定理，然后证明出它们之间的等价性． 实数的基本定理 确界原理 设是非空数集，若有上界，则必有上确界；若有下界，则必有确界． 单调有界定理 单调增﹙减﹚，有上﹙下﹚界的数列比为收敛数列；单调增﹙减﹚，无上﹙下﹚界数列必为正﹙负﹚无穷大量． Cauchy收敛准则 在实数系中，数列﹛﹜有极限存在的充分必要条件是:任给 ． 闭区间套定理 设闭区间列﹛〔〕﹜满足如下条件： ﹙1﹚〔〕〔〕； ﹙2﹚ 则存在唯一的〔〕﹙﹚，使得． 有限覆盖定理 设为闭区间〔〕的开覆盖，则在中存在有限个开区间组成的集合覆盖〔〕． 致密性定理 有界数列必有收敛的子数列． 证明实数基本定理间的等价性 2．1 用确界原理证明单调有界定理 证明 ﹙ⅰ﹚设﹛﹜为单调增数列，为数列﹛﹜中的一切项所组成的数集，当然的，且实列﹛﹜有﹙无﹚上界，即数集有﹙无﹚上界，记， 若﹛﹜有上界，则 , 因﹛﹜是递增的，故 ， 则说明﹛﹜收敛且收敛于 若无上界，知 , 再由﹛﹜是递增的， , 证得﹛﹜为正无穷大量． ﹙ⅱ﹚设﹛﹜为单调减数列，此时﹛﹜为单调增数列，从﹙ⅰ﹚知， 于是 ． 若﹛﹜有下界，即 ， 是﹛﹜递减的，故 ， ﹛﹜收敛且收敛于． 若﹛﹜下无界，，于是 ， 又由﹛﹜的递减得， 即﹛﹜为负无穷大量． 2．2 用单调有界定理证明闭区间套定理 证明 由闭区间套定理的条件﹙1﹚知，数列﹛﹜单调上升且以为上界，数列﹛﹜单调下降且有下界．因此由单调有界定理知它们有极限存在，记， 则 ． 因为分别是数列﹛﹜和﹛﹜的上、下确界，所以〔〕，， 在证明的唯一性．若还有一个〔〕，， ， 知，即满足定理结论的是唯一的． 2．3 用闭区间套定理证明有限覆盖定理 证明 用反证法．是〔〕的开覆盖，设〔〕不能被中的任意有限个开区间所覆盖． 将〔〕二等分得两个闭子区间，则其中至少有一个不能被中的任意有限个开区间所覆盖，其记为〔〕，对〔〕重复上述对〔〕的讨论，继续下去，便得到一个闭区间列﹛〔〕﹜满足： ﹙1﹚〔〕〔〕，； ﹙2﹚； ﹙3﹚每个〔〕都不能被中的有限个开区间所覆盖． 有条件﹙1﹚、﹙2﹚及闭区间套定理，知，必存在唯一的满足： ． 因为〔〕且覆盖了〔〕，所以必存在开区间﹙﹚，使得 ﹙﹚，又由极限的性质，当充分大时，〔〕﹙﹚ ，即〔〕被中的一个区间所覆盖，这与条件﹙3﹚矛盾，则假设是错误的．则证明了有限覆盖定理． 2．4 用有限覆盖定理证明致密性定理 证明 ﹛﹜数列有界，则存在实数满足 ． 用反正证明．假设﹛﹜的任意子列都不收敛，那么〔〕，都不是﹛﹜的任何子列的极限，所以必定使得区间﹙﹚内只含有﹛﹜的有限多项． 当取遍〔〕上所有的点时，对应的开区间的并集 ﹙﹚〔〕 即﹛﹙﹚|〔〕﹜是〔〕的一个开覆盖，由有限覆盖定理知，存在有限个区间 ﹙﹚，﹙﹚，﹙﹚ 覆盖了〔〕，而这与假设矛盾，故﹛﹜必有收敛子列． 2．5 用致密性定理证明Cauchy收敛准则 证明 必要性是显然的．下面只需证明它的充分性，设﹛﹜是基本数列，先证有界． 时 , 取,则即有界． 再证﹛﹜收敛，因为是基本数列，所以 ﹙1﹚ 由致密性定理，﹛﹜有收敛的子列﹛﹜，记，当，由﹙1﹚式，，令时得，所以﹛﹜收敛，故证明了Cauchy收敛准则． 2．6 用Cauchy收敛准则证明闭区间套定理 证明 设闭区间列﹛〔〕﹜满足以下条件： ﹙1﹚〔〕〔〕﹙﹚； ﹙2﹚ 由条件﹙1﹚，数列﹛﹜单调增加，﹛﹜单调减少，及所以对 ； 又由条件﹙2﹚，