线代宝典_方法,公式及 定理.doc

线性代数五大基本方法 ⒈ 行列式的降阶法 (i) 降1阶 (效率不高) 按行或列展开(按第行展开)或(按第列展开). (ii) 降多阶(效率较高) 例如阶行列式 (其中矩阵可逆) 或 (其中矩阵可逆). 它们的证明利用到分块矩阵的初等变换及Laplace定理. (iii) 直接降为数(效率最高) 若为阶方阵且, 则 . 特别地, , . ⒉ 分块矩阵法 (i) 行列二分块或分块 . (ii) 列分块 (iii) 行分块. 注意.“视块为数, 注意左右”, 分块矩阵的逆和秩理论, 分块矩阵的初等变换(特别是消法不变性). ⒊ 初等变换法 计算题绝大多数用该方法.例如: 求逆矩阵、求矩阵的秩、解线性方程组、求特征向量等. 4. 标准形法 等价标准形; 相似标准形; 合同标准形. ⒌ 单位向量法(特别是特征向量法). 单位向量中最重要的是标准单位向量(第行)及特征向量. 学习线性代数要注意概念间的相互转化, 如图 例如, 关于方阵可逆的10种等价说法: 表示阶方阵的集合. 等价说法 借助概念 设 , 则可逆 1. , 使得或. 矩阵 2. 行列式 3. 矩阵的秩 4.可以通过行初等变换变为 初等变换 5.可以表示为若干初等矩阵的乘积 初等矩阵 6. 仅有零解(即为单射) 线性方程组 7. 对, 总有惟一解(即为满射) 线性方程组 8. 的列(行)向量组线性无关 向量组 9 的任意一个特征值不为零 特征值 10. 或正定 二次型矩阵 重要公式及定理、推论及性质 第一章 行列式(determinant) 行列式的性质 ⒈ 转置不变性⒉ 交换相反性⒊ 行或列提取性质 ⒋ 行或列的可加性⒌ 消法不变性(非常重要) 6．行列式按行或列展开及正交性(常考) 7. Laplace定理(按行或列展开) 设阶行列式, 表示从中取出第行、第列 形成的阶子式, 而表示的代数余子式, 则 (按第行展开). 特别地, , , 设分别为阶方阵, 则. 克莱姆(Cramer)法则 若 则. 范德蒙行列式 . 行列式的类型及计算行列式的方法 行列式的类型: (1) 数字行列式 (2) 字母行列式 (3) 特殊行列式(如范德蒙行列式) (4) 抽象行列式 计算行列式的一般方法:(1) 直接用定义(比较少见)(2) 化为三角行列式(3) 降阶法(最为重要) (4) 递推公式法 第二章 矩阵(matrix) 符号: 表示实矩阵的全体, 表示实方阵的全体. 表示由矩阵的第行及第列交叉的元素构成的阶行列式, 称为的阶子式. 若, 则称为的阶主子式. 8．若, 则 . 9．. 10．若可逆, 则可逆, 且. 11．. 12. , (常考) 13. .(常考) 14.关于伴随矩阵的性质(常考) 设, (i) 若可逆, 则(ii) (iii) (iv) (v) (vi) 用符号表示矩阵的特征值, 则. 15. 定理 对矩阵实施一次行(列)初等变换相当于左(右)乘相应的初等矩阵. (常考) 即, 其中表示第种初等矩阵. 16. 定理 对分块矩阵实施一次行(列)初等变换相当于对原矩阵(未分块)实施若干次相应的行(列)初等变换, 特别地, 消法变换不改变行列式的值, 即 (行消法变换), (列消法变换). 17. . 18. 如何求逆矩阵及分块逆矩阵(常考) (i) 若, 且, 则. (ii) 若,, 且, 则. (iii) 若. 特别地, , , 及. 矩阵的秩(rank): 设, 则存在非零的阶子式 19. 定理 初等变换(包括分块矩阵初等变换)不改变矩阵关于矩阵的秩。 20. 秩的性质:设, 则 (i) ,; (ii) , 可逆; (iii) (iv) 设, 则.(常考) (v) 设, 则. 特别地, 若, 则.(常考) 21. 秩为1的方阵的性质. (常考) 设, 且, 则 (i) , 其中为非零向量. (ii) , 其中称为的迹. (iii), 即的个特征值为重)及. 且为特征值的特征向量, 即. (iv) 相似于对角阵. (v) .(非常重要) (vi) 设, 且, 则. 22. 关于与的若干性质 设,, (i) 若, 则. (ii) 若, 则, 而可能不为零. 因为, 则. (iii), 特别地. 若, 则与有相同的非零特征值. (常考) 若, 则与有相同的特征值. (常考) (iv) 若且可逆, 则. (v) 若且不可逆, 则与不一定相似. 例如, 而, 则, , 于是与不相似. (vi) 若, 则. 第三章 线性方程组(system of linear equation