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线代定理

1.对换 定理1 一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性。 推论 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数,偶排列变成标准排 列的对换次数为偶数。 定理2 n介行列式也可以定义为 D= ,其中t为行标排列p1p2pn的逆序数。(t为列标排列的逆序数) 2.行列式的性质 性质1 行列式与它的转置行列式相等。 性质2 互换行列式的两行(列),行列式变号。 推论 如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式等于零。 性质3 行列式的某一行(列)中所有元素的都乘以同一数k,等于用数k乘以此行列式。 推论 行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。 性质4 行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式等于零。 性质5 若行列式的某一列(行)的元素都是两数的和,则可将此数分裂写成两行列式。 性质6 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去行,列式不变。 3.行列式按行(列)展开 定义 在n介行列式中,把(i,j)元aij所在的第i行和第j列划去后,留下来的n-1介行列式叫做(i,j)元aij的余子式,记作Mij;记Aij=(-1)i+jMij,Aij叫做(i,j)元aij的代数余子式。 定理 一个n介行列式,如果其中第i行所有元素除(i,j)元aij外都为零,那么这行列式等于aij与它的代数余子式的乘积,即D=aijAij. 定理3 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即D=ai1A1i+ai2Ai2++ainAin(i=1,2,,n), 或 D=a1jA1j+a2jA2j++anjAnj(j=1,2,,n). 推论 行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。 5.克拉默法则 克拉默法则 如果线性方程组(11)的系数行列式不等于零,即 D=0那么,方程组(11)有唯一解。 定理4 如果线性方程组(11)的系数行列式D0,则(11)一定有解,且解是唯一的。 定理4 如果线性方程组(11)无解或有两个不同的解,则他的系数行列式必为零。 线性方程组(11)右端的常数项不全为零时,线性方程组(11)叫做非齐次线性方程组,当全为零时,线性方程组(11)叫做齐次线性方程组 定理5 如果齐次线性方程组(13)的系数行列式D0,则齐次线性方程组(13)没有非零解。 定理5 如果齐次线性方程组(13)有非零解,则它的系数行列式必为零。 6.矩阵 1.:m行n列的矩阵。 2.行数与列数都等于n的矩阵成为n介矩阵或n介方阵。可记作。 3.只有一行的矩阵称为行矩阵,又称行向量。只有一列的矩阵称为列矩阵,又称列向量。 4.两个矩阵的行数相等、列数相同时,就称他们是同型矩阵 。若aij=bij则A=B。元素都是零的矩阵称为零矩阵,记作0。 5.叫做n介单位矩阵,简称单位阵。这个方阵的特点是:不在对角线上的元素都是零。这种方阵称为对角矩阵,简称对角阵。对角阵也可记作=diag。 7.矩阵的运算 定义4 设A=(aij)是一个m×n矩阵,B=(bij)是一个s×n矩阵,那么规定矩阵A于矩阵B的乘积是一个m×n矩阵C(cij),其中(i=1,2...,m;j=1,2,...,n)并把此乘积记作C=AB。 (AB)C=A(BC); λ(AB)=(λA)B=A(λB); A(B+C)=AB+AC,(B+C)A=BA+BC EA=AE=A 称为纯量阵。 定义5 把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵,叫做A的转置矩阵,记作。 定义6 由n阶方阵A的元素所构成的行列式(各元素的位置不变),称为方阵A的行列式,记作|A|或detA. 定义7 对于n阶矩阵A,如果有一个n阶矩阵B,使AB=BA=E,则说矩阵A是可逆的,并把矩阵B称为A的逆矩阵,简称逆阵。 定理1 若矩阵A可逆,则|A|0. 定理2 若|A|0,则矩阵A可逆,且,其中为矩阵A的伴随阵.A是可逆矩阵的充分必要条件是|A|0,即可逆矩阵就是非奇异矩阵。 推论 若AB=E则B=A-1。 克拉默法则 对于n个变量、n个方程的线性方程组如果它的系数行列式D≠0则它有唯一解xj==。 8.矩阵的初等变换与线性方程组 定义1 初等行变化(i)对调两行(对调i,j两行,记作); (ii)以k≠0乘某一行中的所有元素(第i行乘以k,记作ri×k); (iii)把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去(第j行 的k倍加到第i行上,记作r i+kr j)。把定义中的行换成列即得到矩阵的初等列变换的定义(记号r换成c)。 行最简矩阵 特点是非零行的第一个非零元为1,且这些非零元所在的列的其他元素都为零。 标准阵 特点是F的左上角是一个单位矩

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