正余弦定理精选精讲.doc

正、余弦定理的五大命题热点 正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。在近年高考中主要有以下五大命题热点： 一、求解斜三角形中的基本元素 (或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题． 例1(2005年全国高考江苏卷) 中，，BC＝3，则的周长为（ ） A． B．C． D． 分析：由正弦定理，求出b及c，或整体求出b＋c，则周长为3＋b＋c而得到结果． 解：由正弦定理得：， 得b＋c＝[sinB＋sin(－B)．故三角形的周长为：3＋b＋c＝，故选(D)． 评注：由于本题是选择题也可取△ABC为直角三角形时，即B＝，周长应为3＋3，故排除(A)、(B)、(C)．而选(D)． 例2(2005年全国高考湖北卷) 在ΔABC中，已知，AC边上的中线BD=，求sinA的值． 分析：本题关键是利用余弦定理，求出AC及BC，再由正弦定理，即得sinA． 解：设E为BC的中点，连接DE，则DE//AB，且，设BE＝x 在ΔBDE中利用余弦定理可得：， ，解得，（舍去） 故BC=2，从而，即又， 故， 二、判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状． 例3(2005年北京春季高考题)在中，已知，那么一定是（ ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形 解法1：由＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB， 即sinAcosB－cos(A－B)B．故选(B)． 解法2：由题意，得cosB＝，再由余弦定理，得cosB＝． ∴ ＝，即a2＝b2，得a＝b，故选(B)． 评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：⑴统一化为角，再判断(如解法1)，⑵统一化为边，再判断(如解法2)． 三、 解决与面积有关问题 主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题． 例4(2005年全国高考上海卷) 在中，若，，， 则的面积S＝_________ 分析：本题只需由余弦定理，求出边AC，再运用面积公式S＝AB?ACsinA即可解决． 解：由余弦定理，得cosA＝，解得AC＝3． ∴ S＝AB?ACsinA＝．∴ AB?AC?sinA＝AC?h，得h＝AB? sinA＝，故选(A)． 四、求值问题 例5(2005年全国高考天津卷) 在中，所对的边长分别为， 设满足条件和，求和的值． 分析：本题给出一些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理． 解：由余弦定理，因此， 在△ABC中，∠C=180°－A－∠B=120°－B. 由已知条件，应用正弦定理 解得从而 五、正余弦定理解三角形的实际应用 利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下： 测量问题 例1 如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸标记物C，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm，求河的宽度。 分析：求河的宽度，就是求△ABC在AB边上的高，而在河的一边，已测出AB长、∠CAB、∠CBA，这个三角形可确定。 解析：由正弦定理得，∴AC=AB=120m，又∵，解得CD=60m。 点评：虽然此题计算简单，但是意义重大，属于“不过河求河宽问题”。 遇险问题 例2某舰艇测得灯塔在它的东15°北的方向，此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯塔在它的东30°北。若此灯塔周围10海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？ 解析：如图舰艇在A点处观测到灯塔S在东15°北的方向上；舰艇航行半小时后到达B点，测得S在东30°北的方向上。 在△ABC中，可知AB=30×0.5=15，∠ABS=150°，∠ASB=15°，由正弦定理得BS=AB=15，过点S作SC⊥直线AB，垂足为C，则SC=15sin30°=7.5。 这表明航线离灯塔的距离为7.5海里，而灯塔周围10海里内有暗礁，故继续航行有触礁的危险。 点评：有关斜三角形的实际问题，其解题的一般步骤是：（1）准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；（2）画出示意图，并将已知条件在图形中标出；（3）分析与所研究问题有关的一个或几个三角形，通过合理运用正弦定理和余弦定理求解。 追击问题 例3 如图3，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方向，距A有9n mile并以20n mile/h的速度沿南偏西15°方向航行，若甲船以28n mile/h的速度航行，应沿什么方向，用多少h能尽快追上乙船？ 解析：设用t h，甲船能追上乙船，且在C处相遇。 在△ABC中，AC=28t，BC=20t，AB=9，设