2016届高考理科数学知识点第一轮复习10.ppt

第3讲　函数的奇偶性与周期性 考试要求　1.函数奇偶性的含义及判断，B级要求；2.运用函数的图象理解、研究函数的奇偶性，A级要求；3.函数的周期性、最小正周期的含义，周期性的判断及应用，B级要求． 知 识 梳 理 1．函数的奇偶性 2. 奇(偶)函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 ，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性 (填“相同”、“相 反”)． (2)在公共定义域内 ①两个奇函数的和函数是 ，两个奇函数的积函数 是 ． ②两个偶函数的和函数、积函数是 ． ③一个奇函数，一个偶函数的积函数是 ． (3)若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0. 3．周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝ ，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中 . 的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正 周期． 诊 断 自 测　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．( ) (2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( ) (3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．( ) (4)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a＞0)的周期函数．( ) 3．(2014·新课标全国Ⅰ卷改编)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，给出下列结论：①f(x)g(x)是偶函数；②|f(x)|g(x)是奇函数；③f(x)|g(x)|是奇函数；④|f(x)g(x)|是奇函数．则上述结论中正确的是________(填序号)． 解析　依题意得对任意x∈R，都有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，因此，f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－[f(x)·g(x)]，f(x)g(x)是奇函数，①错；|f(－x)|·g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|g(x)，|f(x)|g(x)是偶函数，②错；f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－[f(x)|g(x)|]，f(x)|g(x)|是奇函数，③正确； |f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|， |f(x)g(x)|是偶函数，④错． 答案　③ 4．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(2 015)＝________. 解析　∵f(x＋4)＝f(x)， ∴f(x)是以4为周期的周期函数， ∴f(2 015)＝f(503×4＋3)＝f(3)＝f(－1)． 又f(x)为奇函数， ∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2， 即f(2 015)＝－2. 答案　－2 5．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则x＜0时，f(x)＝________. 解析　当x＜0时，则－x＞0， ∴f(－x)＝(－x)(1－x)． 又f(x)为奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)＝(－x)(1－x)， ∴f(x)＝x(1－x)． 答案　x(1－x) 规律方法　判断函数的奇偶性，包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立． 规律方法　函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值． 考点三　函数性质的综合应用 【例3】 (1)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则 ①f(－25)＜f(11)＜f(80)； ②f(80)＜f(11)＜f(－25)； ③f(11)＜f(80)＜f(－25)； ④f(－25)＜f(80)＜f(11)． 其中正确的是________(填序号)．