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2016届高考理科数学知识点第一轮复习15.ppt
第8讲 函数与方程 考试要求 1.函数的零点与方程根的联系,一元二次方程根的存在性及根的个数的判断,B级要求;2.二分法求相应方程的近似解,B级要求. 知 识 梳 理 1.函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y=f(x) (x∈D),把使 的实数x叫做函数y=f(x) (x∈D)的零点. (2)几个等价关系 方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图象与 有交点?函数y=f(x)有 . (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 ,那么,函数y=f(x)在区间 内有零点,即存在c∈(a,b),使得 ,这个c也就是方程f(x)=0的根. 2.二次函数y=ax2+bx+c (a0)的图象与零点的关系 3. 二分法 (1)定义:对于在区间[a,b]上连续不断且 的函数y =f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 , 使区间的两个端点逐步逼近 ,进而得到零点近似值的方 法叫做二分法. (2)给定精确度ε,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下: ①确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ε; ②求区间(a,b)的中点c; ③计算f(c); (ⅰ)若f(c)=0,则c就是函数的零点; (ⅱ)若f(a)·f(c)<0,则令b=c(此时零点x0∈(a,c)); (ⅲ)若f(c)·f(b)<0,则令a=c(此时零点x0∈(c,b)). ④判断是否达到精确度ε:即若|a-b|<ε,则得到零点近似值 a(或b);否则重复②③④. 诊 断 自 测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.( ) (2)函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不断),则f(a)·f(b)<0.( ) (3)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0时没有零点.( ) (4)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值.( ) 3.(2014·湖北七市(州)联考)已知函数f(x)与g(x)的图象在R上连续不断,由下表知方程f(x)=g(x)有实数解的区间是________. 解析 记h(x)=f(x)-g(x),依题意,注意到h(0)<0,h(1)>0,因此函数h(x)的零点属于(0,1),即方程f(x)=g(x)有实数解的区间是(0,1). 答案 (0,1) 4.下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求图中函数零点的是________(填序号). 解析 当x≤0时,由x2-2=0得x=-(正根舍去);当x>0时,f(x)=2x-6+ln x在(0,+∞)上为增函数,且f(2)=ln 2-2<0,f(3)=ln 3>0,所以f(x)在(0,+∞)上有且只有一个零点,综上可知f(x)的零点个数为2. 答案 2 考点一 函数零点的判断与求解 【例1】 (1)(2014·苏、锡、常、镇模拟)设f(x)=ex+x-4,则函数f(x)在区间(1,2)内的零点有________个. (2)(2014·湖北卷改编)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-3x.则函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为________. 规律方法 (1)确定函数的零点所在的区间时,通常利用零点存在性定理,转化为确定区间两端点对应的函数值的符号是否相反.(2)根据函数的零点与相应方程根的关系可知,求函数的零点与求相应方程的根是等价的.对于求方程f(x)=g(x)的根,可以构造函数F(x)=f(x)-g(x),函数F(x)的零点即方程f(x)=g(x)的根. ∵f(x)=-x2+2ex+m-1= -(x-e)2+m-1+e2. ∴其图象的对称轴为x=e,开口向下, 最大值为m-1+e2. 故当m-1+e2>2e,即m>-e2+2e+1时,y=g(x)与y=f(x)有两个交点,即g(x)-f(x)=0有两个相异实根. ∴m的取值范围是(-e2+2e+1,+∞). 规律方法 函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围,若方程可解,通过解方程即可得出参数的范围,若方程不易解或不可解,则将问题转化为构造两个函数,利用两个函数图象的关系求解,这样会使得问题变得直观、简单,这也体现了数形结合思想的应用. (2)
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