2015年中考数学真题训练旋转大题(辽宁汇总)答案技术报告.doc

1.（2015阜新市）如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°，得到线段CQ，连接BP，DQ． （1）如图a，求证：△BCP≌△DCQ；（2）如图，延长BP交直线DQ于点E． ①如图b，求证：BE⊥DQ；②如图c，若△BCP为等边三角形，判断△DEP的形状，并说明理由． 解： （1）证明：∵∠BCD=90°，∠PCQ=90°，∴∠BCP=∠DCQ，在△BCP和△DCQ中， ，∴△BCP≌△DCQ； （2）①如图b，∵△BCP≌△DCQ，∴∠CBF=∠EDF，又∠BFC=∠DFE，∴∠DEF=∠BCF=90°，∴BE⊥DQ； ②∵△BCP为等边三角形，∴∠BCP=60°，∴∠PCD=30°，又CP=CD，∴∠CPDF=∠CDP=75°，又∠BPC=60°，∠CDQ=60°， ∴∠EPD=45°，∠EDP=45°，∴△DEP为等腰直角三角形． 如图1，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，点B在线段AE上，点C在线段AD上． （1）请直接写出线段BE与线段CD的关系：　　； （2）如图2，将图1中的△ABC绕点A顺时针旋转角α（0＜α＜360°）， ①（1）中的结论是否成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由； ②当AC=ED时，探究在△ABC旋转的过程中，是否存在这样的角α，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出角α的度数；若不存在，请说明理由． 解：（1）BE=CD，BE⊥CD ∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，∴AB=AC，AE=AD，∴AE﹣AB=AD﹣AC，∴BE=CD；（2）①∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，∴AB=AC，AE=AD，由旋转的性质可得∠BAE=∠CAD， 在△BAE与△CAD中， ，∴△BAE≌△CAD（SAS），∴BE=CD；证BE⊥D ②∵以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=45°，∵AC=ED， ∴∠CAD=45°，∴角α的度数是45°215°或315°． （1）如图①，当∠BAC=∠DCF=90°时，直接写出AG与DG的位置和数量关系； （2）如图②，当∠BAC=∠DCF=60°时，试探究AG与DG的位置和数量关系， （3）当∠BAC=∠DCF=α时，直接写出AG与DG的数量关系． 解答： （1）AG⊥DG，AG=DG， 证明：延长DG与BC交于H，连接AH、AD，∵四边形DCEF是正方形，∴DE=DC，DE∥CF，∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDE， ∵G是BC的中点，∴BG=EG，∵G是BC的中点，∴BG=EG，在△BGH和△EGD中 ∴△BGH≌△EGD（AAS），∴BH=ED，HG=DG，∴BH=DC， ∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵∠DCF=90°，∴∠DCB=90°，∴∠ACD=45°，∴∠ABH=∠ACD=45°， 在△ABH和△ACD中 ∴△ABH≌△ACD（SAS），∴∠BAH=∠CAD，AH=AD，∵∠BAH+∠HAC=90°，∴∠CAD+∠HAC=90°，即∠HAD=90°， ∴AG⊥GD，AG=GD； （2）AG⊥GD，AG=DG； 证明：延长DG与BC交于H，连接AH、AD，∵四边形DCEF是正方形，∴DE=DC，DE∥CF，∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDE， ∵G是BC的中点，∴BG=EG，在△BGH和△EGD中 ∴△BGH≌△EGD（AAS），∴BH=ED，HG=DG，∴BH=DC，∵AB=AC，∠BAC=∠DCF=60，∴∠ABC=60°，∠ACD=60°， ∴∠ABC=∠ACD=60°，在△ABH和△ACD中 ∴△ABH≌△ACD（SAS），∴∠BAH=∠CAD，AH=AD，∴∠BAC=∠HAD=60°；∴AG⊥HD，∠HAG=∠DAG=30°， ∴tan∠DAG=tan30°==，∴AG=DG． 4..（2015年营口）【问题探究】（1）锐角△中，分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE=AB，A=AC，∠BAE=∠CAD，试与的关系【深入探究】（）如图2，四边形ABCD中，求的长（3）如图3，在(2)的条件下，当△ACD在线段AC的左侧时，求的长 （1）答：BD =理由：∵∠BAE=∠CAD∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD又∵AE=AB，AC=AD∴△EAC≌△BAD (SAS) ，∴BD=CE． 4分（2）解：在△ABC的外部，以点A为直角顶点作等腰直角BAE，使∠BAE=90oAE=AB，连接EA、EB、EC∵，∴，∴∠BAE=， ∴∠BAE+∠B