第一章矢量分析讲解.ppt

第一章 矢量分析 直角坐标系中旋度可用矩阵表示为 或用算符 ? 表示为 应该注意，无论梯度、散度或旋度都是微分运算，它们表示场在某点附近的变化特性，场中各点的梯度、散度或旋度可能不同。因此，梯度、散度及旋度描述的是场的点特性或称为微分特性。函数的连续性是可微的必要条件。因此在场量发生不连续处，也就不存在前面定义的梯度、散度或旋度。 矢量的旋度描叙了该矢量在给定点处的漩涡强度。 （1.45） 第一章 矢量分析 旋度运算的基本公式 （1.49） （1.48） （1.47） （1.46） 第一章 矢量分析 1.6.3 斯托克斯定理 如图1.7所示，令S是以闭曲线 为边界的有限开曲面。将表面 积S划分为n个面积元 （i＝1，2，…，n），其单位法向矢量 ， 且闭曲线 包围面积元 ，当 时，由式（1.44），对i个曲 线 ，有 图1.7 闭曲线 为边界的有限开曲面 对开曲面S上所有的闭曲线 （i＝1,2,…,n）,将上式求和,得 （1.50） （1.51） 第一章 矢量分析 这就是斯托克斯定理的表达式. 因开曲面S上任意相邻面元矢量 和 的公共边界上的线积 分正好抵消,如图1.7所示.因此,当时,有 同高斯定理类似，从数学角度可以认为斯托克斯定理建立了面积分和线积分的关系。从物理角度可以理解为斯托克斯定理建立了区域 S 中的场和包围区域 S 的闭合曲线 l 上的场之间的关系。因此，如果已知区域 S 中的场，根据斯托克斯定理即可求出边界 l 上的场，反之亦然。 （1.52） （1.51） 第一章 矢量分析 除斯托克斯定理外,还有一个关于矢量旋度的体积分和矢量闭曲 面积分之间的关系,其数学表达式为 （1.53） 矢量旋度定理 例 试证任何矢量场 A 均满足下列等式 证 设 C 为任一常矢量，则 S V A 式中S 为包围体积 V 的闭合表面，此式又称为矢量旋度定理，或矢量斯托克斯定理。 根据散度定理，上式左端 那么对于任一体积 V，得 求得 1.7 无散场与无旋场 第一章 矢量分析 散度处处为零的矢量场称为无散场，旋度处处为零的矢量场称为无旋场。 两个重要公式： 右式表明，任一标量场? 的梯度的旋度一定等于零。因此，任一无旋场一定可以表示为一个标量场的梯度，或者说，任何梯度场一定是无旋场。 左式表明，任一矢量场 的旋度的散度一定等于零 。因此，任一无散场可以表示为另一矢量场的旋度，或者说，任何旋度场一定是无散场。 （1.54） （1.55） 第一章 矢量分析 1.9 唯一性定理 位于某一区域中的矢量场，当其散度、旋度以及边界上场量的切向分量或法向分量给定后，则该区域中的矢量场被惟一地确定。 已知散度和旋度代表产生矢量场的源，可见惟一性定理表明，矢量场被其源及边界条件共同决定的。 第一章 矢量分析 若矢量场 F(r) 在无限区域中处处是单值的， 且其导数连续有界，源分布在有限区域 V ? 中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场 F(r) 可以表示为 式中 可见，该定理表明任一矢量场均可表示为一个无旋场与一个无散场之和。矢量场的散度及旋度特性是研究矢量场的首要问题。 1.10 亥姆霍兹定理 （1.62） 第一章 矢量分析 1.11 正交曲面坐标系 已知矢量 A 在圆柱坐标系和球坐标系中可分别表示为 式中 a, b, c 均为常数，A 是常矢量吗？ 圆柱(r, ? , z) y z x P0 ? 0 ? = ? 0 r = r0 z = z 0 O x z y ? = ? 0 ? 0 ? 0 球(r, ?, ? ) r = r 0 ? = ? 0 P0 O 直角(x, y , z) z x y z = z 0 x = x 0 y = y 0 P0 O 第一章 矢量分析 1.11 正交曲面坐标系 1.11.1 正交曲面坐标系的单位矢量和度量因子 （1.63） （1.64） 第一章 矢量分析 如图1. 8所示, 图1.8 正交曲线坐标系 au1,au2, au表示三个相应坐标变量的梯度方向上的单位矢量， 三个坐标曲面处处正交，因此三个单位矢量的关系为 三位坐标系中，矢量 可以表示为 第一章 矢量分析 （1.66） （1.65） d u3 第一章 矢量分析 （1.67） （1.69） （1.68） 第一章 矢量分析 1.8 1.9 圆柱(r, ? , z) y z x