初中数学竞赛辅导资料31勾股定理.doc

初中数学竞赛辅导资料（31） 勾股定理 甲内容提要 勾股定理及逆定理：△ABC中　∠C＝Rt∠a2＋b2=c2 勾股定理及逆定理的应用 作已知线段a的，， ……倍 计算图形的长度，面积，并用计算方法解几何题 证明线段的平方关系等。 勾股数的定义：如果三个正整数a,b,c满足等式a2＋b2=c2，那么这三个正整数a,b,c叫做一组勾股数. 勾股数的推算公式 罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家1789――1853） 任取两个正整数m和n(mn),那么m2-n2，2mn,　m2+n2是一组勾股数。 如果k是大于1的奇数，那么k, ,是一组勾股数。 如果k是大于2的偶数，那么k, ,是一组勾股数。 如果a,b,c是勾股数，那么na,　nb,　nc　(n是正整数)也是勾股数。 熟悉勾股数可提高计算速度，顺利地判定直角三角形。简单的勾股数有：3，4，5；　5，12，13；　7，24，25；　8，15，17；　9，40，41。 乙例题 例1.已知线段a　　 a 　　　　a　　　2a　　 3a a　　　　　　　　　　　　　　　　　　 求作线段a　　　　　　　　　　　　 a　　　　　　　 　 分析一：a＝＝ 2a 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∴a是以2a和a为两条直角边的直角三角形的斜边。 分析二：a＝ ∴a是以3a为斜边，以2a为直角边的直角三角形的另一条直角边。 作图（略） 例2.四边形ABCD中∠DAB＝60，∠B＝∠D＝Rt∠，BC＝1，CD＝2 求对角线AC的长　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 解：延长BC和AD相交于E，则∠E＝30　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∴CE＝2CD＝4，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 在Rt△ABE中　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 设AB为x,则AE＝2x　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 根据勾股定理x2+52=(2x)2, x2=　　　　　　　　　　　　　 在Rt△ABC中，AC＝＝＝ 例3.已知△ABC中，AB＝AC，∠B＝2∠A 求证：AB2－BC2＝AB×BC　　　　　　　　　　　　　　　　　　 证明：作∠B的平分线交AC于D，　　　　　　　　　　　　 　则∠A＝∠ABD，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∠BDC＝2∠A＝∠C ∴AD＝BD＝BC　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 作BM⊥AC于M，则CM＝DM　　　　　　　　　　　　　　　　　 AB2－BC2＝（BM2＋AM2）－（BM2＋CM2）　　　　　　　　　　　　 　　　　＝AM2－CM2＝（AM＋CM）（AM－CM）　　　　　　　　　 　　　　＝AC×AD＝AB×BC 例4.如图已知△ABC中，AD⊥BC，AB＋CD＝AC＋BD 　求证：AB＝AC　　　　　　　　　　　　　　　　　 　证明：设AB，AC，BD，CD分别为b,c,m,n　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 则c+n=b+m, c-b=m-n　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∵AD⊥BC，根据勾股定理，得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 AD2＝c2-m2=b2-n2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∴c2-b2=m2-n2, (c+b)(c-b)=(m+n)(m-n) (c+b)(c-b) =(m+n)((c-b)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (c+b)(c-b) －(m+n)(c-b)＝0 (c-b)｛(c+b)－(m+n)｝＝0 ∵c+bm+n, ∴c-b=0 即c=b ∴AB＝AC 例5.已知梯形ABCD中，AB∥CD，AD＞BC 求证：AC＞BD 证明：作DE∥AC，DF∥BC，交BA或延长线于点E、F ACDE和BCDF都是平行四边形 ∴DE＝AC，DF＝BC，AE＝CD＝BF　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 作DH⊥AB于H，根据勾股定理　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 AH＝，FH＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∵AD＞BC，AD＞DF　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∴AH＞FH，EH＞BH　　　　　　　　　　　　　 DE＝，BD＝ ∴DE＞BD 即AC＞BD 例6.已知：正方形ABCD的边长为1，正方形EFGH内接于ABCD，AE＝a，AF＝b,且SEFG