高考数学第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第7课时 正弦定理和余弦定理【更多资料关注微博高中学习资料库 】.doc

三角函数、三角恒等变换及解三角形第7课时　正弦定理和余弦定理 1. (必修5习题1.1第1(2)题改编)在△ABC中若∠A＝60B＝45＝3则AC＝________．答案：2解析：在△ABC中＝＝＝＝2(必修5复习题第1(2)题改编)在△ABC中＝＝＝2则A＝________．答案：60解析：由余弦定理得＝＝＝＜A＜＝60(必修5习题1.2第6题改编)在△ABC中、b、c分别为角A、B、C所对的边若a＝2b则此三角形一定是________三角形．答案：等腰解析：因为a＝2b所以由余弦定理得a＝2b·整理得b＝c故此三角形一定是等腰三角形．(必修5习题6改编)已知△ABC的三边长分别为a、b、c且a＋b－c＝ab则∠C＝________．答案：60解析：＝＝＝＜C＜180＝60(必修5习题1.1第6(1)题改编)在△ABC中＝，b＝2＝则△ABC的面积为________．答案：4解析：∵ ＝＝＝＝×2×＝4 1. 正弦定理：＝＝＝2R(其中R为△ABC外接圆的半径)．余弦定理＝b＋c－2bc＝a＋c－2ac；c＝a＋－2ab或＝＝＝三角形中的常见结论(1) A＋B＋C＝(2) 在三角形中大边对大角大角对大边：AB(3) 任意两边之和大于第三边任意两边之差小于第三边．(4) △ABC的面积公式＝(h表示a边上的高)；＝＝＝＝；＝(a＋b＋c)(r为内切圆半径)；＝其中P＝(a＋＋c)．[备课札记] 题型1　正弦定理解三角形例1　在△ABC中＝＝＝45求角A、C和边c.解：由正弦定理得＝即＝nA＝＝60或A＝120当A＝60时＝180－45－60＝75＝＝；A＝120时＝180－45－120＝15＝＝ 在△ABC中(1) 若a＝4＝30＝105则b＝________(2) 若b＝3＝＝45则a＝________(3) 若AB＝＝＝30则∠A＝________答案：(1) 2　(2) 无解　(3) 45°或135°解析：(1) 已知两角和一边只有一解由∠B＝30＝105得∠A＝45由正弦定理得b＝＝＝2(2) 由正弦定理得＝＝无解．(3) 由正弦定理＝得＝＝＝45或135题2　余弦定理解三角形例2　在△ABC中、b、c分别是角A、B、C的对边且＝－(1) 求角B的大小；(2) 若b＝＋c＝4求△ABC的面积．解：(1) 由余弦定理知：＝cosC＝将上式代入＝－得·＝－整理得a＋c－b＝－ac.∴ ＝＝－＝－为三角形的内角＝(2) 将b＝＋c＝4＝代入b＝a＋c－2ac得b＝(a＋c)－2ac－2ac＝16－2ac＝3.＝＝ (2014·南京期末)在△ABC中角A、B、C所对的边分别是a、b、c已知c＝2＝(1) 若△ABC的面积等于求a、b；(2) 若＋(B－A)＝2求△ABC的面积．解：(1) 由余弦定理及已知条件得a＋bab＝4.因为△ABC的面积等于所以＝得ab＝4.联立方程组　解得a＝2＝2.(2) 由题意得(B＋A)＋(B－A)＝4所以＝2当＝0时＝所以B＝所以a＝＝当时得＝2由正弦定理得b＝2a联立方程组　解得a＝＝所以△ABC的面积S＝＝题型3　三角形形状的判定例3　在△ABC中、b、c分别表示三个内角∠A、∠B、∠C的对边如果(a＋b)sin(A－B)＝(a－b)sin(A＋B)判断三角形的形状．解：已知等式可化为a[sin(A－B)－(A＋B)]＝[－(A＋B)－sin(A－B)]＝2b由正弦定理得＝(sinAcosA－)＝0＝由02A2得2A＝2B或2A＝－2B即△ABC为等腰或直角三角形． 已知△ABC中＝试判断△ABC的形状．解：由已知得＝＝＝＝. 由正弦定理知＝＝＝nBcosB，即＝因为∠B、∠C均为△ABC的内角．所以2∠C＝2∠B或2∠C＋2∠B＝180所以∠B＝∠C或∠B＋∠C＝90故三角形为等腰或直角三角形．题型4　正弦例4　在△ABC中、B、C所对的边分别是a、b、c且b是a、c的等差中项．(1) 求B的大小；(2) 若a＋c＝＝2求△ABC的面积．解：(1) 由题意得a＋c＝2b由正弦定理得＋＝2即(A＋C)＝2＋C＝－B＜B＜(A＋C)＝＝，∴ B＝. (2) 由B＝，得＝， 即＝，∴ ac＝2.＝acsinB＝. 已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边＋－b－c＝0.(1) 求A；(2) 若a＝2的面积为求b、c.解：(1) 由a＋－b－c＝0及正弦sinAcosC＋－－＝0.因为B＝－A－C所以－－＝0.由于所以＝又0A故A＝(2) △ABC的面积S＝＝故bc＝4.而a＝b＋c－2bc故b＋c＝8.解得b＝c＝2. 1. (2013·安徽)设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c若b＋c＝2a＝5则角C＝________．答案：解析：根据正弦定理＝5可化为3