高中数学概率的问题.doc

概率问题 摘要：排列、组合知识是数学知识来源于生活，又应用于生活的具体体现。不同情况下的排列、组合问题的解决，是提高人们利用数学知识解决现实问题能力的一种途径。 关键字：排列、组合、分类、分步、元素、特殊、相邻 排列组合问题与现实生活有密切联系，在很多领域有广泛的应用，是当今发展很快的组合数学的最初步知识。这种以记数问题为特征的内容在中学数学中是较为独特的。它不仅应用广泛，是学习概率与统计知识以及进一步学习高等数学有关知识的准备知识，而且由于其思想方法独特灵活，也是发展学生抽象能力和逻辑思维能力的素材。正因如此，它也是学习高中数学的一个难点。下面，我谈谈高中数学中排列与组合问题的常见类型及应对策略。 一、有限制排列问题 有限制排列问题，因限制条件不同，而使问题复杂多样，解决手段也必须“对症下药”。 常见的限制条件及对策。 1、? 2、????? 3、? 4、? 基本的解题思想方法为： 1、? 2、? 3、? 4、? 在实际解题过程中，首先必须认真审题，明确问题为排列还是组合问题。其次是抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析解答，同时还要注意一些方法和技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解。 1、? 对于存在特殊元素或特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些特殊入手。先满足特殊元素或特殊位置，再去满足其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法。 例：1名老师和4名学生排成一排，若老师不排在两端，则共有多少种不同的排法？ 分析：（解法1、特殊元素法）老师在中间3个位置上任选1个的选法有A41种，然后剩余的四名学生在余下的四个位置上，排法有A44种。由分步记数原理，所以共有A31A44=72 种。 （解法2、特殊位置法）先安排两端站两名学生共有A42种方法，其余位置安排有A33种。所以共有排法数为A42A33=72种。 答案：72种。 2、? 对于含否定词的问题，还可以从总体中把不符合要求的除去。 比如上面的例题中，1名老师和4名学生共5人，其排列方法为A55种，把老师排在队伍两端的情况A21A44减去。所以方法数为A55-A21 A44=72种。 答案：72种。 3、? 对于某些元素要求相邻的问题，可先将相邻的元素捆绑并看作一个元素并与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行排列。 例：3个女生与5个男生排在一起，女生必须在一起，可以有多少种不同的方法？ 分析：因为3个女生必须排在一起，所以可以把她们看作一个整体，连同5个男生共6个元素，排成一排有A66种不同的排法，同时每种排法中，女生之间又有A33种不同的排法，利用分步记数原理，可得有A66A33种不同的排法。 答案：A66A33 4、? 对于几个元素不相邻的排列问题，先将没有限制条件的元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙插入即可。 例：7人排成一排照相，若要求甲、乙、丙三人不相邻，有多少种不同的排法？ 分析：先将其余4人站好，有A44种排法，再于4人之间及两端5个“空隙”中选3个位置将甲、乙、丙插入，有A53种方法。由分步记数原理，这样共有A44A53种不同的排法。 答案：A44A53 5、? 对于几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素同其余元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数。 例：7个节目，甲、乙、丙三个节目按给定顺序出现，有多少种排法？ 分析：7个节目的全排列为A77,甲、乙、丙之间的顺序已定。所以有A77∕A33=840种。 答案：840种。 6、? 把n个元素排成几排的问题，若没有其它特殊要求，可采用统一排成一排的方法来处理。 例：15人排成两排，前排7人，后排8人，共有多少种不同的方法？ 分析：前排7人有A157种方法，后排8人有A88种方法，所以有A157A88=A1515种不同方法。其实就相当于将15个人排成一排。 答案：A1515种 7、? 当题目中的附加条件增多，结果数目不大，解决它的方法又不一般，采用穷举法有时能取得意想不到的效果。 例：三边长均为整数，最长边为8 的三角形有多少个？ 分析：另两边用字母x、y表示，且不妨设1≤x≤y≤8，x+y≥9 当 y=8时，x=1,2,…8, 有8个。 当y=7时，x=2,3…7 有6个。 当y=6时，x=3,4,5,6,有4个 当y=5时，x=4,5,有2 个。 所以，所求的三角形的个数为8+6+4+2=20。 答案：20个。 8、? 研究有约束条件的排数问题，需紧扣题中所提供的数字特征，结构特征，进行推理，分析求解。 例：由1，2，3，4，5，6这六个数可组成多少个无重复且是6的倍数的五位数？ 分析：6的倍数既